Re: [請益] 凹性偏好是否一定為邊際效用遞增?

[akai0928 (so what)]

※ 引述《abbaabbacdcd (好餓)》之銘言：
: 在準備經濟學考試，讀到無異曲線這邊時有個疑問...
: 凹性偏好的代表性函數是 U=aX^2+bY^2
: 以此函數來看的確是X,Y兩財貨皆為MU遞增
: 我讀的教材也是直接寫凹性偏好是在MU遞增的情況下
: 我的疑問是
: 無異曲線為凹向原點，不是只能代表MRS為遞增嗎? 應該無法保證MU為遞增?
: 之前讀到一般無異曲線形狀(凸向原點)時，教材上卻有說MRS遞減不表示MU遞減
: 難道這不適用於凹性偏好嗎? 若是有反例的話，可以請舉出一個函數作例子嗎?
: 懇請高手賜教!! 也感謝解答


U=aX^2+bY^2

given a>0, b>0

Ux = 2aX > 0    Uy = 2bY > 0
Uxx = 2a > 0    Uyy = 2b > 0

上式表示，兩財貨邊際效用為正，且邊際效用遞增

接著，討論此效用函數MRS 遞增或遞減?

MRS = MUx/MUy = aX/bY

 dMRS      d   aX       a      1*Y - X*(dY/dX)
------ = ----(----) = (---) * -----------------
  dX      dX   bY       b          Y^2


                        a      Y - X*(-aX/bY)
                    = (---)* -----------------
                        b           Y^2

                      a       Y + aX^2/bY
                   =(---)* ---------------- > 0
                      b           Y^2

dMRS/dX > 0, MRS 遞增

---------------------------------------------------------------

MRS 遞增與 MU 遞增無必然的相關

證明方式與遞減時相同

let U = U(X,Y)

Ui > 0, i = X, Y
Uii > 0, i = X, Y

          Ux[X, Y(X)]
MRSxy = ---------------
          Uy[X, Y(X)]



  dMRSxy      (Uxx + Uxy*dY/dX)*Uy - Ux*(Uyx + Uyy*dY/dX)
--------- = ----------------------------------------------
    dX                           Uy^2


               [ Uxx + Uxy*(- Ux/Uy)]*Uy - Ux*[ Uxy + Uyy*(-Ux/Uy)]
          = ---------------------------------------------------------
                                        Uy^2



              1                    Ux                    Ux
          = ------ ( Uxx*Uy - Uxy*----*Uy - UxyUx + Uyy*-----*Ux )
             Uy^2                  Uy                    Uy


             1
         = ------ ( Uxx*Uy^2 - Uxy*UxUy - Uxy*Ux*Uy + UyyUx^2 )
            Uy^3


            1
        = ------ ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0
           Uy^3


∵ Uy > 0   ∴ Uy^3 > 0 ----> ( UxxUy^2 + UyyUx^2 - 2UxyUxUy) > 0

                       -----> UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy

MRS 遞增的條件：UxxUy^2 + UyyUx^2 > 2UxyUxUy

MU  遞增的條件：Uxx > 0, Uyy > 0

亦即：MU 遞增無法保證 MRS 遞增成立

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無心擁有 何嘆失去

 無心真正追尋過的擁有 便無須矯情怨失去

  若是無悔追尋過 烙在心頭上 又怎能失的去

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.24.81.1
→ NTUpope:MRSx,y是效用函數U(x,y)=0所定義之隱函數y=f(x)的導函數
→ NTUpope:而偏好的凸凹即是指函數y=f(x)的凹凸性 英文的凸函數是凸
→ NTUpope:向原點的凸函數 數學上其有二階導函數大於零的性質 也就是
→ NTUpope:說一階導函數遞增(斜率漸大) 但是惹 經濟學上一般MRS在負
→ NTUpope:的階段就把它掛絕對值取正為其定義 所以為數學上是遞增就
→ NTUpope:變成遞減 加上對岸數學界又以及島內少數經濟學者把英文上
→ NTUpope:的凸函數翻成凹函數(因為在第一象限的圖形是╰╯ 曰之凹)
→ NTUpope:所以筆者看到有關這方面的陳述易有所錯亂 而本篇作者描述
→ NTUpope:                                          發問者
→ NTUpope:MU也無明確指MUx或MUy或者兩者 使得筆者更錯亂
→ NTUpope:MU是雙變量函數U(x,y)的偏導函數 所以回原發問者
→ NTUpope:偏好的凸凹只能確定MRS的情況 你看到的"凹性偏好 MU遞增"
→ NTUpope:應該只是在單純描述凹性偏好且MUx遞增的情形