※ 引述《suxen1094 (意義不明啊)》之銘言：
: 各位大神們好
: 小弟我在計算生成函數的過程中出了些問題
: 所以想請各位指教一下
: 題目如下(第一題的A)：
: https://i.imgur.com/Z6SMmcD.jpg
: 而我的計算過程如下：
: https://i.imgur.com/E9biCTG.jpg
: 因為題目是a[n] - 4a[n-1] + 3a[n-2]
: 所以我在等號左右邊加入sigma的時候
: 是令sigma的n = 2
: 雖然等號左半邊的計算我沒有問題
: 不過在計算右邊時就出現了不同的算法
: 我先透過已知x/(1-x)^2去減掉x
: 得到左下角的式子1
: 然後接著計算sigma(2x)^n
: 但在這裡就出現了不同的解法
: 如式子2和式子3所示
: 式子2是1/(1-2x)去減掉1+2x
: 式子3則是1/(1-2x)去乘上2x
: 如果按照式子1的解法
: 那理論上應該是式子2的減掉才是正確的
: 但我記得式子3的相乘才是正確答案
: 爬文後也是說相乘才是正確的
: 所以我想請問
: 正確的解法到底是式子2還是式子3？
: 然後是為什麼呢？
: 謝謝！
: --
倒是在搞partial fraction的時候，
可以用代值法+改成(x-a)的Laurent series求係數:
∞ n 1
而且我基本上只背 Σ x = -----
n=0 1-x
剩下都靠2邊微分求得
(當然你也可以記generalized binomial theorem for negative integer power:
-n ∞ k k
(1+x) = ΣC(-n,k)x , where C(-n,k) = (-1) C(n+k-1,k-1)
k=0
)
∞ n
Let G(x) = Σ a x
n=0 n
∞ n ∞ n ∞ n ∞ n n ∞ n ∞ n
Σ a x = 4Σ a x - 3Σ a x + Σ 2 x + Σ (n+1)x + 2Σ x
n=2 n n=2 n-1 n=2 n-2 n=2 n=2 n=2
∞ n ∞ n 2 ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n
=>Σ a x = 4xΣ a x - 3x Σ a x + Σ (2x) + Σ (n+1)x + 2Σ x
n=2 n n=1 n n=0 n n=2 n=2 n=2
2 1 1
=> G(x)-a x-a = 4x[G(x)-a ] - 3x G(x) + (------ -2x-1) + [------- - 2x -1]
1 0 0 1-2x 2
(1-x)
1
+ 2(--- - x-1)
1-x
a = 4, a = 1
1 0
2 1 1 2
=>(1-4x+3x ) G(x) = 4x+1-4x + ----- -2x-1 + ------ -2x -1 + --- -2x-2
1-2x 2 1-x
(1-x)
2
1-4x+3x = (1-x)(1-3x)
(2x+1) 1 1 2
=> G(x) = -3 ----------- + ----------------- + ----------- + ----------
(1-x)(1-3x) (1-x)(1-2x)(1-3x) 3 2
(1-x) (1-3x) (1-x) (1-3x)
We want
1. a(1-3x)+b(1-x) = -3(2x+1)
=> -2a = -9(Set x=1) and 2b/3 = -5(Set x=1/3) => a = 9/2, b =-15/2
2. a(1-2x)(1-3x)+b(1-x)(1-3x)+c(1-x)(1-2x) = 1
=> 2a = 1(Set x=1), -b/4=1(Set x=1/2), 2c/9(Set x=1/3) = 1
=> a = 1/2, b = -4, c = 9/2
2 3
3. a(1-x) (1-3x) + b(1-x)(1-3x)+ c(1-3x) + d(1-x) = 1
=> 8d/27 = 1(Set x=1/3) => d = 27/8
1 1 1
------------- = -------- ------------
3 3
(1-x) (1-3x) (1-x) [-2+3(1-x)]
1 1
= --------- -----------
3
-2(1-x) [1-3(1-x)/2]
1 ∞ n
= --------- Σ [3(1-x)/2]
3 n=0
-2(1-x)
-1/2 -3/4 -9/8
= -------- + ------- + -------- + ...
3 2
(1-x) (1-x) (1-x)
=> c = -1/2, b = -3/4, a = -9/8
2
4. a(1-x)(1-3x)+b(1-3x)+c(1-x) = 2
=> -2b = 2 (Set x = 1), 4c/9 = 2 (Set x = 1/3), a+b+c = 2(Set x = 0)
=> b = -1. c = 9/2, a = -3/2
9/2 -15/2 1/2 (-4) 9/2 (-9/8)
=> G(x) = ------- + ------- + ------ + ----- + ------ + -------
1-x 1-3x 1-x 1-2x 1-3x 1-x
(-3/4) (-1/2) 27/8 (-3/2) (-1) 9/2
+ --------- + -------- + ------- + -------- + -------- + ------
2 3 2
(1-x) (1-x) 1-3x 1-x (1-x) 1-3x
19/8 (-7/4) (-1/2) (-4) 39/8
= -------- + -------- + ------ + ------ + --------
2 3
1-x (1-x) (1-x) 1-2x 1-3x
∞ n ∞ n ∞ n ∞ n ∞ n
= 19/8Σ x -7/4Σ (n+1)x -1/4Σ (n+2)(n+1)x -4Σ(2x) + 39/8Σ (3x)
n=0 n=0 n=0 n=0 n=0
∞ 2 n n n
= Σ[-n /4-5n/2+1/8-4*2 + (39/8)3 ]x
n=0
2 n n
∴ a = -n /4-5n/2+1/8-4*2 + (39/8)3
n
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