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作者: mgtsai () 看板: Math
標題: Re: [離散]鴿籠原理
時間: Mon Sep 28 19:13:23 2009

※ 引述《MeNeNe (咪逆逆)》之銘言：
: 把自然數1,2,3,4,5,....,10任意排程一個圓圈，證明:一定存在3個相鄰的數，
: 它們的和大於17。
: 我只能證到大於16 =  =
: 感謝

假設任三相鄰數之和均小於等於 17

一、若某三相鄰數之和 a+b+c 等於 17，則下個三相鄰數之和 b+c+d 必小於 17

    b+c+d = (a+b+c) - (a-d) = 17 - (a-d)
    但因 a≠d，所以 a-d≠0，且 b+c+d≦17，故 b+c+d < 17


二、十組三相鄰數中，最多有五組三相鄰數之和等於 17

    因假若有六組或六組以上之三相鄰數和等於 17
    則必存在一組和為 17 之三相鄰數，下個三相鄰數之和必等於 17
    與 (一) 之條件相誖

三、十組三相鄰數，其中五組三相鄰數之和等於 17，另五組之和等於 16
    且交錯配置

    假設共有 n 組和為 17 之三相鄰數

    而 q 為其餘 (10 - n) 組三相鄰數和之總和
    所以 q ≦ 16 * (10 - n)

    因所有三相鄰數和之總和
    = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) * 3 = 165
    = 17n + q

    => q = 165 - 17n ≦ 160 - 16n
    => n ≧ 5

    又由 (二) 可知 n ≦ 5，故 n = 5，q = 165 - 17 * 5 = 80
    又因其餘五組之三相鄰數和均小於等於 16，故此五組之三相鄰數和剛好等於 16

    小結：有五組的三相鄰數和為 17，另五組之三相鄰數和為 16，且交錯配置

四、假設其中一組之三相鄰數和 a+b+c = 17
    則下一組之三相鄰數和 b+c+d = 16 => d = a - 1
    再下一組之三相鄰數和 c+d+e = 17 => e = b + 1
    再下一組之三相鄰數和 d+e+f = 16 => f = c - 1
    再下一組之三相鄰數和 e+f+g = 17 => g = d + 1 = a

    因 g = a，數字重覆，矛盾

    故原假設三相鄰數之和均小於等於 17 不成立

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