Re: [請問]圓周率

[testishard (testishard)]

※ 引述《YmemY (*＊米)》之銘言：
: 不知道能不能這樣子證明:
: 圓形 = 無窮多邊形
: 正n邊形的一邊長 = 2*R*sin(Θ/2n)  (繞圓一周的角度Θ為定值是顯而易見的嗎?)
: 周長 = n*邊長 = lim 2nRsin(Θ/2n) = ΘR
:                n->∞
: 因為Θ是定值，所以圓周長正比於半徑
: 有不周全的地方請指教謝謝!
: ※ 引述《testishard (testishard)》之銘言：
: : 圓周率的定義是圓的周長與直徑的比值
: : 請問
: : 第一：如何證明此比值是個定值？
: : 第二：如何證明圓周率是無理數？
: : 這兩個問題困擾我很久了
: : 可否請版上高手解惑？

我覺得還是有問題，因為你證明的過程用到這個公式


lim {[sin(x)]/x} = 1 , 而這個公式的證明有用到 弧長=ΘR
x->0

而 弧長=ΘR 本身就是由 圓周長=2(Pi)R 導出

這樣就是個循環論證…所以此論證過程應該是不能成立的


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◆ From: 220.133.2.91
→ testishard  :我記得微積分裡有證明(sinx)/x 的極限值=1
→ testishard  :我有翻書確認過其證明過程已有用到圓周率了…
推 YmemY       :原來如此~謝謝你
推 cmlrdg      :回1樓,sin的定義不必然要跟幾何扯上關係:sin和cos可
→ cmlrdg      :以用微分方程定義: f,g:R->R 且 f'=g,g'=-f,f(0)=0,
→ cmlrdg      :g(0)=1.如此可解得f=sin,g=cos.兩者皆以power series
→ cmlrdg      :表達.
→ cmlrdg      :原文中的lim即為sin'0.因此, 其值 = cos0 = 1.
推 cmlrdg      :我的想法跟hcsoso大在推文裡提到的相似.;)
→ testishard  :喔喔！cm大的方法也可行，謝謝囉！
→ testishard  :但是要用到微積分，Pi是定值這件事的證明，應該比微
→ testishard  :積分早很多年…而且我是想講給高中生聽的