Re: [微積] 多變數函數的gradient的一個證明

[testishard (testishard)]

※ 引述《testishard (testishard)》之銘言：
: 可否用gradient的定義證明以下這個小定理：
: 如果 f 和 g 是有相同定義域 D 的 n多變數函數，且在 x 都可微。
: If g(x) ≠ 0, then f/g is diff. at x
:                                        g(x)▽f(x) — f(x)▽g(x)
:                      and ▽(f/g)(x) =  ————————————
:                                                [g(x)]^2
: ========================以下為我的想法=========================
:                          f(x+h)      f(x)
: (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ———  －  ——
:                          g(x+h)      g(x)
:                          g(x)f(x+h) － f(x)g(x+h)
:                        = ————————————
:                                 g(x)g(x+h)
:                          g(x)[f(x+h) － f(x)] － f(x)[g(x+h) － g(x)]
:                        = ——————————————————————
:                                          g(x)g(x+h)
: ∵ f and g are diff. at x   ∴ ∣ f(x+h) － f(x) = ▽f(x)‧h + o(h)
:                                ∣
:                                ∣ g(x+h) － g(x) = ▽g(x)‧h + o(h)
:                          g(x)[▽f(x)‧h + o(h)] － f(x)[▽g(x)‧h + o(h)]
: (f/g)(x+h) － (f/g)(x) = ————————————————————————
:                                             g(x)g(x+h)
:                          [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]‧h + g(x)o(h)－f(x)o(h)
:                        = —————————————————————————
:                                             g(x)g(x+h)
:                          [g(x)▽f(x) － f(x)▽g(x)]         g(x)o(h)－f(x)o(h)
:                        = —————————————‧h  +  —————————
:                                 g(x)g(x+h)                     g(x)g(x+h)
:                                     ﹌﹌﹌
:                                       ↑
:                                  這個要怎麼辦 ?
: 後面那一陀東東很容易證明是 o(h)，但是前面的那一陀東西要怎麼處理
: 很明顯不符合可微的定義。若將前項分母的g(x+h)改寫成〔g(x) + [g(x+h)－g(x)]〕
: 代入後只會將整個式子搞得更噁心，且似乎也無法湊出所要證的東西…
: 這個問題已經困擾我一個晚上，害我失眠了…
: 有沒有哪個好心的神人可以解惑一下，謝謝！
: 感激不盡


因為h大的推文讓我有些困惑，所以我把我的疑點提出來



如果我沒記錯的話，把gradient化為偏微分的形式的定理是：



Let f be a n-variables function and x=(x_1, ..., x_n)

If f has "continuous" first order partial derivatives, df/dx_1, ..., df/dx_n

at x, then f is diff. at x and ▽f(x) = (df/dx_1, ..., df/dx_n)




若我沒理解錯誤的話，上述定理的意思應該是除非可以知道:

      (1) 所有 f 的偏微分都存在
如果
      (2) 所有這些對 f 做 x_i 偏微分所得的函數都要在x_i連續


，則才能確定 f 在 x 可微，且▽f(x) = (df/dx_1, ..., df/dx_n)




所以若只是知道 f 在 x 點可微，就把 ▽f(x) 寫成 (df/dx_1, ..., df/dx_n)

那不就是把自動把此定理看成若且為若嗎？ 這樣邏輯上會有誤吧！！



我原來的問題給條件只有 f and g if diff. at x.還有 g(x)≠0 所以我跟本不可能得知

f 和 g 各自所有的偏微分存不存在，更不知道這些 f 和 g 的偏微分在該點連不連續，

因此我無法將▽f(x)和▽g(x)寫成(df/dx_1, ..., df/dx_n)和(dg/dx_1, ..., dg/dx_n)

而且我就是要證明 f/g 可微，更不可能知道

                   d              d
   ▽(f/g)(x) = ( — (f/g), ..., — (f/g) )
                 dx_1           dx_n


所以哪來的 quotion rule 可以用？？


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◆ From: 106.1.225.110
推 herstein    :No............
→ herstein    :All partial derivative exist and continuous=>
→ herstein    :=>Differentiable
→ herstein    :Differentiable => All partial derivatives exist
→ herstein    :at that point but the partial derivatives do not
→ herstein    :or, are not necessarily continuous...
→ testishard  :謝謝你，我大概懂了，可是若要硬用定義證呢？怕會考
→ testishard  :我後面那個定理還沒念到…但是f/g可微是出現在第一個
→ testishard  :定理那邊，所以我想應該是要用定義去證…
推 herstein    :可以用定義證...我上篇推文的就是hint...
→ herstein    :nabla=▽ 這個叫nabla
→ testishard  :謝謝，但還是看不懂 g\nabla f-f\labla g/g^2
→ testishard  :裡面的 \ 是什麼意思
→ testishard  :g\▽ f-f\▽ g/g^2 是怎麼看(g\▽)(f-f\▽)(g/g^2)??
→ testishard  :而且你我最後的式子兩邊減掉那一串，是指我最後整理
→ testishard  :的那修有前後項的式子嗎？ 是等號兩邊一起減？？
→ suhorng     :\nabla是LaTeX語法 代表▽符號
→ testishard  :謝謝suhorng，但我還是不知道是哪兩邊減掉那一串東東