Re: [中學] [(x-1)(x-2)]/(x-2)的定義域

[alfadick (悟道修行者)]

※ 引述《linijay (Ajay)》之銘言：
: 標題: [中學] [(x-1)(x-2)]/(x-2)的定義域
: 時間: Tue Apr 23 11:56:34 2013
:
: 如標題，請問定義域是R，還是x≠2 ?
: 我認為是後者，因為分母不得為零，
:
: 但是lim  [(x-1)(x-2)]/(x-2) = 1
:     x→2
:
: 想確認一下以上兩者是否皆正確，謝謝。
:
: --
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: ◆ From: 61.62.110.82
: 推 itsweb      :Y/Y                                                04/23 12:05
: 推 alfadick    :http://ppt.cc/Hh1R                                 04/23 15:29
: 在兩位信心加持下，小弟想通了，
: 定義域的部分是因為 0 ÷0 ≠ 1，分子分母在x=2時不得消去
: 極限值的部分，(x-2)/(x-2)=1可以消去
: 感謝


不，你沒有想通。
不過這也不是你的問題，是你遇的書都沒寫。

ex: 台灣高中參考書、課本、台灣中文微積分書、
James Stewart, Varberg的微積分... etc.


你所舉例的函數f，定義域是R\{0}，也就是集合R去掉0這個元素。
0 /0 是無意義，一般而言不可以寫 0/0 ≠ 1，無意義的東西談不上=或≠

而你第二個問題，答案是1沒錯，只是你會說：

「 lim  [(x-1)(x-2)]/(x-2) =  lim (x-1) = 1 是怎麼回事？


他媽的你一下說 0/0 無意義，一下又說 0/0 = 1，所以上下分子分母一起消掉 x-2，

是在幹啥鬼？

好吧，我猜猜看你的意思，你是不是說 x 無限接近於2，但不會等於2，

也就是 x≠２ ，所以 x-2≠０

所以 (x-2)/(x-2) 不會等於 0/0，也就不會無意義啦，上面下面又都是同樣的東西，

所以可以一起把 x-2 消掉，得

       (x-2)(x-1)
lim   ---------- =  lim  (x-1) = 2-1 = 1？
x->2     (x-2)     x->2


.... 但是我還是覺得怪怪的，你一下說 x 不是２，後面又說x是２，

所以x-1 的極限值是2，我被你搞得好亂。...話都是你在講，

一下說 x 是2一下又說不是...

當你消不掉(x-2)的時候就說 x 趨近於 2，但不是2；
當你消掉了(x-2)這項，你又說x就是2了，把它當作2來算吧..

話都是你在講..這是什麼數學?

」


是的，當初我也有這些疑問，

問數理資優班老師，他也說不出個所以然，

去書局翻越二十幾本台灣微積分書，沒‧一‧本‧有‧講‧原‧因，

包括NTU開放式課程那老師也講不明白。

不難想像微積分發展初期為什麼會被痛罵不嚴謹。

直到我看到了這本微積分書的特別解說，才感覺到追求真理的快樂。

這種東西用嘴巴上隨便說說"噢, x不等於2啊 所以它不是0 上下可消" 實在不嚴謹

用 epsilon-delta 的證明就絕對嚴謹了。

http://ppt.cc/8M6O

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◆ From: 114.25.5.250
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.5.250         (04/23 23:12)
推 anovachen   :請問這張圖出自哪本書？@@
→ suhorng     :應該一般大一危機分課本都會講XD
推 cnick       :你追求嚴謹的精神很令人值得學習
推 znmkhxrw    :很多書沒講是因為trivial
→ znmkhxrw    :總之懷疑的話 就自己證一次 證出來就是你的了
台灣的微積分書我就完全不能接受了。

因為95%的書誇張到連合成函數的極限都沒講，就批啦啪啦的解起題來了，

簡直把數學當歷史來念。

這種書真的都該燒掉，浪費紙張、浪費地球資源。
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.5.250         (04/23 23:46)
→ suhorng     :(例如連結貼的這個在Stewart 6e p.103有)
→ znmkhxrw    :很多很像的東西 f(x) = x/x = 1? R^2看成C blabla
→ suhorng     :另外可以來看看金次爺爺的高微 (線上課程)
→ znmkhxrw    :覺得不嚴謹的地方就回歸定義就可以解決
→ alfadick    :今次爺爺看起來人不錯，可是口條有點不行XD
→ alfadick    :我可能會先聽交大白啟光的高微><
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.5.250         (04/23 23:48)
→ alfadick    :我是急性子，有時候會不習慣他中間卡住很久不說話 XD
→ doom8199    :Stewart 不就有解釋了嗎 = =
→ doom8199    :lim x->a 本來就跟 f(a) 為何完全無關
→ alfadick    :http://ppt.cc/b645
→ alfadick    :Stewart這還多少有解釋了
→ alfadick    :(雖然沒給更嚴謹純epsilon-delta的證明, 但至少有畫)
→ alfadick    :(解釋成挖洞)
→ alfadick    :台灣許多書都把它直接列lim式然後上下消掉x-2
→ alfadick    :我在沒看到我那本書之前,就是自己想出Stewart的那個
→ alfadick    :來自圓其說。等到我看到嚴格證明，已經是半年以後的
→ alfadick    :事了。(看到Stewart的書也是那時候)
→ alfadick    :Thomas好像也沒寫(菸)
→ doom8199    :我是覺得每本書本身就有它想闡述的目標
→ doom8199    :我是覺得沒必要用您認為的"嚴謹證明"來區分書的好壞
→ doom8199    :很多初微的書也沒證明微積分基本定理
→ doom8199    :但不代表就該把書燒掉XD, 因為有可能應用面
→ doom8199    :才是該書所想教導的核心所在
推 jacky7987   :看Courant的?
推 craig100    :這本是Larson吧 我大一也用這本~
→ Vulpix      :金次大的高微如果中間不卡一下的話會來不及聽懂XD
→ t0444564    :我支持數學書有兩種: 計算的, 證明的.
→ t0444564    :解題不需要懂非常多證明
→ t0444564    :就像走路不用懂骨架與力學

書本厚度有限，能寫的有限，作者自然會有所取捨，沒人不支持。

但我是說，當我們把 James Stewart 的書和 Ron Larson 的書攤開來一起比較，

無論是清晰度、排版、顏色、課後資源、用字容不容易ambiguous、

example 有沒有代表性、觀念解釋得清不清楚、邏輯脈絡通不通、

section 的編排巧思、循序漸進性、歷史人物簡介、微積分的應用跟理論、

整本書有沒有用心寫、有沒有把學生容易搞混的東西點出來，

逐一比較，同樣的厚度，同樣在教大一微積分，你會找不到 James Stewart 的定位。


不怕貨比貨，就怕識錯貨。

我受過好書所啟，也受過爛書所累。

James Stewart 的書，我們必須很客觀的說，它的品質跟它的知名度有一大段落差。
※ 編輯: alfadick        來自: 114.25.21.144        (04/24 09:53)
→ poyu2303    :南一版高中數學B6的1-3例題1就有解釋了
→ harveyhs    :你為什麼不看Courant 啊XD
→ sneak       : 台灣許多書都把它直接列 https://muxiv.com
→ sneak       : 台灣許多書都把它直接列 https://daxiv.com
→ sneak       : 今次爺爺看起來人不錯， https://muxiv.com
→ sneak       : Thomas好像也沒寫 http://yofuk.com
→ muxiv       : 很多很像的東西 f(x https://moxox.com