→ doom8199 :上下約分跟連續函數定義根本是兩碼子事 04/25 00:26
→ doom8199 :為啥原po要把這兩個搞混再一起 XD 04/25 00:27
→ doom8199 :而且 像 (x-2)/(x-2) 這類只是一種表達式 04/25 00:33
→ doom8199 :函數背後的意義是代表一種特定的 relation 04/25 00:33
→ doom8199 :約分這動作 只是換成另一種表達式 04/25 00:34
→ doom8199 :跟啥 0/0 一點關係也沒有. 而且後面推論也很詭異.. 04/25 00:35
我想順著這個部分,繼續講清楚怎麼回事。
其實這個問題把(有理)多項式跟函數的關係搞清楚
就夠了,極限的問題可以暫時丟到一邊,最後再來看。
以下我在括號內註解代數的一般化:先假設
系數都是有理數(任何的 integral domain),
實數太麻煩了要考慮科西數列,而且任何
數系延伸必須尊重原本數系的等式,所以用這個例子
來說,不需要特別討論系數為實數的情形。
類同於從「整數」建構出「有理數」之過程 (field
of quotients),我們亦可從「多項式」(K[x],
rings of polynomials) 建構出「有理多項式」
(field K(x) of quotients of K[x])
每個有理多項式,有非唯一的表示方式,就如同有
理數一樣:
仔細來說,我們中學用變數表示的多項式:
a_0 + a_1 x^1 + ... + a_n x^n
就只是一個有理數的可數序列:
{a_0, a_1, ..., a_n, 0, 0, 0...}
不需要任何變數 x 來表示。
因此對任意數列 {a_i}_{i \in N},
其中每個 i 代表冪次且 a_i 就是係數,
並且只有有限多個 a_i 是非零。多項式
加法跟乘法用數列來定義則是:
加法- 對每個 i 定義 c_i := a_i + b_i
乘法- 對每個 i 定義 c_i := \sum a_j * b_k, j + k = i
但重要的是,這形成一個沒有 zero divisor
(非零多項式相乘為零)的交換
環也就是整環(integral domain),我們可以構造
一個具有完整除法的類似有理數的代數結構:
每個有理多項式用一對多項式 (P, Q) 代表,
其中 Q 不得為零多項式,並且定義這些表示上何時
等價:
給定 (P, Q)與 (P', Q') 其中 Q 跟 Q' 都不為零,
若 PQ' = P'Q是兩個一樣的多項式,則我們說這兩個
有理多項式相等。而我們習慣直接將表示當做有理
多項式本身,嚴格來看當我們寫 P/Q 的時候,其實
指 (P, Q) 代表的等價類 [(P, Q)]。
加法與乘法跟有理數的構造方式無異,這裡就略過了。
(我們可以將多項式當作有理多項式,是因為 P 能
夠對應到 P/1 。)
以上就只是有理多項式的定義。我們舉個例子來看,根據
定義,我們知道對所有非零的多項式 P ,在有理多項式
上來看以下恆成立:
1 = P/P
也就是說 1 = (x-1)/(x-1) = (x-2)/(x-2) = ... 等,
注意,這並不是個函數,沒有定義域的困惱。
至此為止,其實係數長什麼樣子都不重要。
對所有的表示方式都有一個標準式,
也就是其約分式。而對每個有理多項式 P/Q ,
我們可以定義一個局部函數 f,在 x 上的
約分式 Q 取值不為零的時候,都可以定義
一個有理數 f(x)。
到這裡要注意的部分是,取值函數要 well-defined
的話,則同一個有理多項式的表示,都具有
同樣的結果。舉例來說,
(x-2)(x-1)/(x-1) 等價於 (x-2)
對任何取值,兩邊的表示必須對應到同樣的值,
因此在 1 上取值,兩邊都必須等於 -1 。
回到問題來看
※ 引述《linijay (Ajay)》之銘言:
: 如標題,請問定義域是R,還是x≠2 ?
: 我認為是後者,因為分母不得為零,
: 但是lim [(x-1)(x-2)]/(x-2) = 1
: x→2
: 想確認一下以上兩者是否皆正確,謝謝。
困惑的部分在於,我們是要將 P/Q 看成是
(*) 「P . 1/Q 兩個函數相乘,其中 1/Q 在 Q(x)
為零的時候無定義」還是
「P/Q 為一個用有理多項式代表的函數」
第一個問題的答案則依照 (*) 的選擇有所不同:
若選擇前者,則是定義域R\{2},但若選擇後者,
根據有理多項式的定義以下成立
[(x-1)(x-2)]/(x-2) = x-1
故對應的函數只是減 1 而已,因此定義域不需要特
別考慮 x = 2 的情形。如此一來第二個問題的答案
也就明顯多了。
如果我們搞混函數的定義跟表示的方法之間的關係,
會有這樣的謬論:
令 f 代表從 Q 到 R 的函數
令 q 為一有理數,我們乘上
單位元素 1 = (x - q)/(x - q) 也就是
f * 1 = f * (x-q)/(x-q)
故得知 f 在 q 尚未定義,因此推論 f 在任意
有理數上都無定義,最後因為 f 為任意函數,
則得出所有的在 Q 上的函數都無定義 (!?)
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操作符號前要小心理解背後意義 ...
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◆ From: 92.40.254.232
※ 編輯: xcycl 來自: 92.40.254.232 (04/25 03:29)
推 TassTW :完全同意這和連續極限微積分沒有關係 04/25 10:54
推 secjmy :推這篇 04/25 13:53
推 Chatterly :推 04/26 09:14