Re: [中學] 向量

[silvermare (銀魍魘魅)]

※ 引述《alwaysapie (派)》之銘言：
: G點為三角形重心，現於AB、BC、CA上取三點D、E、F
: 使AD=DB BE=3EC CF=2FA，求當DG=aDE+yDF（向量）時之x、y？
: 以下英文字母均表向量：
: 我的想法是
: DG=x(1/4 DB + 3/4 DC) + y( 2/3 DA +1/3 DC) ...內分點
:   =2y/3 DA + x/4 DB + (3x/4 +y/3) DC ...(*)
: 又因為G為三角形ABC重心
: 故 OG =1/3 OA +1/3 OB +1/3 OC
: 令 O=D
:    DG =1/3 DA +1/3 DB +1/3 DC
: 和(*)比較係數 => x=4/3 y=1/2 但是為什麼帶入驗算DC答案不會是1/3呢？
: 請問版上前輩這樣的解法哪裡不對？
: 謝謝！
DG =aDA +bDB +cDC 這個式子的abc不唯一
例如： DG=0DA +0DB +1/3DC
也就是說 2y/3=x/4=(3x/4 +y/3)=1/3 不一定是對的
想要正確的計算答案 必須利用DA DB DC的關係式(在本題中為DA=-DB)
把上面式子裡的DA DB DC至少消掉一項
(本題會變成DG= 0DA +1/3DC ， DG=(2y/3-x/4)DA + (3x/4 +y/3)DC )
係數才能唯一確定 才能互相對照

: 又想要問，
: 如果知道D、E、F三個不共線定點，
: 也知道如上之AD=DB BE=3EC CF=2FA之類的比例關係，
: A、B、C三點可以唯一確定嗎？
: （也就是如果知道D、E、F三點坐標，怎麼利用向量反求A、B、C三點最快呢？）
: 非常謝謝！
首先用類似上面的方法 可以找出G座標
AG=1/3AB + 1/3AC = ?AD+?AF(用比例關係求係數)
設A=(x,y) DFG座標已知 就能算出A座標

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望天上星羅滿佈無際無邊
臨秋霜落葉殘紅千里孤燕
思柳鬚隨風搖曳耳畔細語
撫玉笛尋簫覓琴遊戲人間

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◆ From: 1.160.34.11
推 alwaysapie  :謝謝S大，我看懂了！                                05/27 13:42
→ alwaysapie  :可是把答案帶回去會變成DG=2/21DA+2/21DB+1/3DC
→ alwaysapie  :這樣不就不滿足重OG=1/3(OA+OB+OC)對任意O點均成立了
→ alwaysapie  :還是這個公式在某些狀況不全成立呢？
→ silvermare  :對任意O 這式子成立 只是並非唯一的式子
推 alwaysapie  :喔喔懂了！ 謝謝！！