Re: [微積] 反函數微分

[Heaviside (Oliver)]

※ 引述《ChenYM (老宅男一個)》之銘言：
: f(x)=x+ln(x+1)
: g(x)為f(x)的反函數
: 求g'(0)
: 這要先求出g(x)嗎？
: 或是有公式可以直接算？

f(x)=x+ln│x+1│

           1       x+2
f'(x)=1+ ─── = ───
          x+1      x+1

           -1
let g(x) =f (x)
            -1
∵f(0)=0 =>f  (0)=g(0)=0


 dg(x)   │         1     │         1       x+1  │
──── │    = ──── │     = ─── = ───│    =0.5
 dx      │x=0   f'(g(x)) │x=0    y'(0)     x+2  │x=0


說明：

反函數定義
                         -1
                 若g(x)=f  (x), 則 f(g(x))=x --------eq1


又反函數微分可得
                   dg
                 ───
                   dx

x=f(g(x))代入可得
                      dg             1
                 ───── = ─────── ---------eq2
                   df(g(x))   [df(g(x))]/dg


有了這兩道公式,即可根據下列三步驟,求得反函數

                 df
step 1:  先求得 ─── =f'(x)
                 dx

           -1                df
step 2: x=f  (x)=g(x)代入得 ─── =f'(g(x)) ,此動作稱為「啞變元原理」
                             dg
          dg       1
step 3: ─── = ───
          dx      df/dg

※Note:

若f(a)=b,則g(b)=a

根據上列所式,若題目要求g'(b),算至步驟二時,則 f'(g(b))=f'(a)

                        -1
ex: f(x)=x^3 +1 , g(x)=f  (x) , find g'(9)

∵f(2)=9 =>g(9)=2

step 1: f'(x)=2x

step 2: f'(g(x))=2g

             │        1    │          1        1
stp3 3: g'(x)│    = ─── │    = ──── = ─── =0.25
             │x=9    df/dg │x=9     2g(9)      2*2


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Logic can be patient for it is eternal. ----- Oliver Heaviside

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推 nobrother   :推推推
→ cacud       :推好心人
→ yangcain    :話說答案是0.5還0,25?
→ Heaviside   :0.5呀@@  底下的是示範題 不是原題