作者microball (無華之果)
看板Math
標題Re: [線代] 特徵值問題 求e^-A
時間Mon Apr 28 04:42:29 2014
※ 引述《ksxo (aa)》之銘言：
: 已知A矩陣 假設已經求出A的兩個特徵值 4和-3 好了
以下是假設 A 是 2x2 矩陣
A 的特徵多項式是 x^2 -x -12 = 0
所以依照 Cayley-Hamilton定理， (A^2)-A-12I = O (零矩陣)
所以 exp(-A) 可以表示成 A 和 I 的線性組合。
: 要求e^-A
: 我看解答的作法是
: 令e^-A = aA + bI
: 然後分別把特徵值 4 和 -3 代入
: 得到 e^-4 = 4a + b
: e^3 = 3a + b
這等式是因為在對角化座標系下 e^(-D) = aD + bI
如果特徵值不是4和-3，而是其他重根的數值，那麼就要視其 Jordan form 來列等式
這演算法對2x2矩陣可能會比直接從 Jordan form 要快
因為如果沒有重根，不用求 eigenvector
: 可以解出a和b 然後就可以得到e^-A
: 請問這步驟是根據什麼公式還想法得到的? 謝謝
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這是你嗎 你要這樣的過嗎
這是你嗎 你錯過了自己吧
就這樣嗎 把你自己信仰 來換別人所謂的天堂
這是你嗎 是誰給了你框框
這是你嗎 把你自己都遺忘
你的心 畢竟是你自己的地方
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→ musicbox810 :e^(-D) = aD + bI為什麼一定要在對角化座標才成立? 04/28 05:25
→ microball :因為如果不可對角化(例如有重根的時候) 04/28 06:19
→ microball :得到的是e^(-J) = aJ + bI (J是jordan form) 04/28 06:19
→ microball :那麼等式就不是原PO解答列出的那樣，而是有其他項 04/28 06:20
→ musicbox810 :可是Hamilton定理不是說J也可以用λ代?e^(-J)的展開 04/28 06:31
→ musicbox810 :照樣用I和J展開嗎?這樣子為什麼和能不能對角化有關? 04/28 06:32
→ microball :你說的矩陣等式的確都成立，我說的是原po的兩個聯立 04/29 04:55
→ microball :等式 是只有對角化時才成立。 04/29 04:55
→ musicbox810 :我原本想的是如果重根的情況,只有一個條件可以代,但 04/29 05:08
→ musicbox810 :是就算是重根,也有能夠對角化的情況呀,並不一定要是 04/29 05:09
→ musicbox810 :Jordan form 不知道有沒有理解錯誤? 04/29 05:09
→ musicbox810 :所以如果是重根可對角化的情況 可以用這種方法求嗎? 04/29 05:28