[中學] 期望值 E_k=KE_1

[alwaysapie (派)]

將5個球隨機投入3個箱子中，求空箱個數的期望值？

一般解法是討論，這我可以理解。

但今天看到一個速解法：

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1個箱子時 空箱個數的期望值 E1=(2/3)^5

3個箱子時 空箱個數的期望值 = 3*[(2/3)^5]=32/81

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答案是對的。


我的問題是，

我理解的 E_k=KE_1 是指

不論取後放回還是不放回，

K次的期望值會是1次期望值的K倍，

我想像的模型是：

白球6顆 黑球5顆，取4次

不論取後放不放回，

抽到白球個數的期望值都是 (6/11)*4=24/11。


那空箱個數算法的理解和這個模型有關嗎？

要怎麼想呢？

還是其實是另一套模型，

可是導出來也是一樣的結論？

謝謝！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.160.21.85
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1399539215.A.80B.html
→ wayn2008    :去找找期望值的定義跟性質吧
→ doom8199    :what is "1個箱子空箱的期望值" ?
→ wohtp       :怎麼可能有三個空箱？
→ yhliu       :解法對不對不妨利用改變設定數字來檢驗.
→ yhliu       :假設是2個球, 3個箱子, 期望空箱數是多少?
→ alwaysapie  :一個箱子時  空箱個數的期望值
→ alwaysapie  :後來我想了想應該是模型不一樣 謝啦各位
※ 編輯: alwaysapie (118.160.21.85), 05/09/2014 00:42:26
→ yhliu       :不是 "一個箱子時...", 是把箱子編號, 第一個箱子是
→ yhliu       :空箱的機率為 (2/3)^5; 第二、三號箱子也是.
→ yhliu       :令 Zk = 1 當 k 號箱是空箱, =0 當 k 號箱不是空箱.
→ yhliu       :m 個箱子, 空箱數是 Z1+...+Zm.
→ yhliu       :n 個球, m 個箱子, 則第 k 號箱是空箱的機率為
→ yhliu       :P[Zk = 1] = E[Zk] = (1-1/m)^n.
→ sneak       : 一個箱子時  空箱個數 https://muxiv.com
→ muxiv       : 假設是2個球, 3個箱 https://noxiv.com