Re: [其他] 函數f和g在x=0連續,合成後不連續例子

[Ryoui (Ryoui)]

※ 引述《jouen (呵呵)》之銘言：
: 合成後是f(g(x)）誰能幫我找個例子嗎？
題目要求：找f和g在0點連續,但是f。g在0點不連續的例子

令
                   1    in [-1,1]
               f=
                   0    otherwise
and
               g= (x-1)^2

則f和g都在0點連續。符合題目要求

但是f在-1和1點不連續 => f在g(0)點不連續
                     => f。g在0點不連續

完成~


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.114.253.35
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1405342656.A.AD5.html
※ 編輯: Ryoui (140.114.253.35), 07/14/2014 21:11:20
推 t0444564    :推推~
推 jouen       :不好意思 微積分先備剛入門不久 題目可能不太懂  依
→ jouen       :你的算法最後不是在求 (null)
→ jouen       : http://i.imgur.com/Vl2CvsG.jpg
題目要找一個f。g在0點不連續的例子,
我後面就是在證明我造的f和g滿足f。g在0點不連續  很單純的XD

→ wayn2008    :不懂你的意思...你要不要用圖形來體會什麼是連續??
※ 編輯: Ryoui (140.114.253.35), 07/14/2014 22:16:17

和null應該是扯不上什麼關係0__0
原PO貼的那張圖片是f。g在0點連續的定義沒錯
照你的圖片來證明f。g在0點不連續:

              Since
                         lim f(g(x)) = f(lim g(x)) = lim f(y) = 1
                         x->0+           x->0+       y->1-
              and
                         lim f(g(x)) = f(lim g(x)) = lim f(y) = 0
                         x->0-           x->0-       y->1+

                    =>   lim f。g(x) ≠ lim f。g(x)
                         x->0+          x->0-

                    =>   lim f。g(x) 不存在
                         x->0

                    =>   f。g 在 0 點不連續

不過每題都這樣寫會累吧O__Q  舉例的題目寫這麼多,看的人會罵XD
※ 編輯: Ryoui (140.114.253.35), 07/14/2014 22:43:26

順帶一提, 上面是針對這題的證明

就像你說的, 在0點極限不存在 => 在0點不連續

但今天如果舉的例子變成

                   1    if x ≠ 1
               f=
                   0    if x ＝ 1
and
               g= (x-1)^2

那f。g在0點的極限值會存在, 但這個例子還是滿足題意

關鍵是, 找到f, g 使得f。g在0點的極限值不等於函數值 (這樣講很難想O__Q

所以不要從極限看, 直接看連續 (當然都會看是最好啦0.0)

簡單來說, 就是找 f 在 0 點連續, 但是在 g(0) 點不連續。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　g隨便給個g(0)≠0的

希望有幫到你～

※ 編輯: Ryoui (140.113.22.70), 07/14/2014 23:07:41
推 j2325138    :路過推樓主不嫌麻煩的補充出來XD