Re: [分析] 曲線微分之後不連續會怎樣?

[wohtp (會喵喵叫的大叔)]

你們這些搞數學的最討厭了啦，老是變出這種白馬非馬的例子 (／‵Д′)／~ ╧╧

說錯的部分就自刪了。


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: 謝謝 那我想請問一下兩位
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: 如果要探討某個 curve(simply a set of points) 的幾何特性
:
: 譬如舉在某點的切線為例好了, 那麼要怎樣才能利用參數方程式判斷
:
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: 因為同一個 curve 有好幾種參數化的方式, 其中有好有爛,
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: 可能單純的 x 軸用 parametric 表示出來的時候
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: 都可以故意讓它好幾個點的函數變很糟.
:
: 換言之要討論一個 curve 的切線, 用參數事不是很不準阿?
:


我覺得問題出在，你想看幾何性質，但是參數不知道你的幾何。
事實上，給定metric，通常弧長是唯一一個有幾何意義的參數。


還是以 R^2 和 Euclidean metric 為例，r 是曲線，s 是弧長，則我們知道：


 1. 若 (dr/ds) 存在，則 |dr/ds| = 1
 2. cusp ==> (dr/ds) 的左右極限存在但不相等
 3. discontinuous jump ==> 左右極限有一邊不存在


因為弧長是純粹由幾何決定的，所以經由弧長計算出來的東西都保證是幾何性質。





但你如果用了其他的參數 t，微分出來就變成

 dr/dt  =  (ds/dt) (dr/ds)

即使 r(s) smooth 也好，什麼鬼東西都可以從 (ds/dt) 裡面偷渡進來。

我甚至也不必像之前一樣人工弄一個cusp，我們考慮又乖又聽話的 s = t^3 就好了：
你已經看到 s = t = 0 的時候會發生甚麼事了吧？




總之，你要看幾何性質，最好就只用弧長、面積、體積...之類的幾何不變量。



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 103.1.70.177
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→ JSDurand    :Have a look at the following example.
→ JSDurand    :http://ppt.cc/wquH
不過這傢伙的弧長好像會在原點爆掉？要造這種怪例子，一定要付出代價的啦。

→ alfadick    :QQ 處理這些東西有夠瑣碎複雜..好麻煩
大原則很簡單啊，就是「除了不變量以外的東西都不能相信」這樣。

推 alfadick    :話說高微裡面有給出可微但導函數不cont的例子阿
※ 編輯: wohtp (103.1.70.91), 08/03/2014 18:12:33
→ suhorng     :長度是會爆掉沒錯..
推 Vulpix      :想單純看曲線的性質的話，應該把它看成一堆超曲面的
→ Vulpix      :交集吧。（用代數簇的想法）
推 alfadick    :我逼著自己耐心看完一遍了
→ alfadick    :所以看dr/dt通常不太好 會有亂七八糟和實質幾何'狀況
→ alfadick    :不一樣的情況發生, 而看arc length parameter就不會
→ alfadick    :r(s), dr/ds和曲線的幾何特徵一致 安全不會出錯