[中學] 數論問題

[testishard (testishard)]

三位數字 x=a*100+b*10+c(其中a,b,c是0~9的整數，且a不為0)。

已知x是一質數，則下列哪些數可能是b^2-4ac之值？

(A)81

(B)53

(C)47

(D)36

(E)12


想了很久，覺得跟二次函數f(t)=at^2+bt+c，且f(10)=x為三位數質數有關，

但怎麼試都試不出來。用拋物線頂點(-b/2a , -D/4a)，但想了半天無頭緒…

也試過配方分解，但無法保證分解項為整數(因為有出現根號)…

或討論c值=1、3、7、9。但a、b可能性太多，還是卡住…

這已經讓小弟我失眠快三天了，不知有沒有哪位好心的強者可以幫忙一下，

感激不盡…

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推 shanewang43 :  https://i.imgur.com/l3I6kD0.jpg
推 shanewang43 : 抱歉 我還有事情 我就不多做討論了 應該有啟發到你
→ shanewang43 : 有機會=有機會是質數 還要再特別去驗證
→ shanewang43 : 就是要用根號(質數)以下的數字去驗證 看是不是質數
→ shanewang43 : b=9 不合是因為 a=0不是三位數 c=0是偶數 所以不合
→ shanewang43 : 4ac=11 不合 是因為ac乘起來不可能是分數
推 shanewang43 : 既然失眠三天 今天就睡多一點吧QQ
推 robinx      : AD 是平方數先排除，C選項得4ac為44,17或2也可排除
→ robinx      : ，B 檢查197 ，E檢查 263,或許有更廣泛的解法
→ testishard  : 感謝！我懂了…，但是不知有沒有更好的解法…
推 Desperato   : 沒有 只能跟他拼了
推 doa2        : 這題應該是要考判別式不能為完全平方數
→ doa2        : 但是刪除後剩下選項只能湊看看了
→ doa2        : 是建中科學班還是數資班的入學考題
推 Vulpix      : 除以4的餘數也很直觀啊。兩個條件一刪就剩E了。
推 robinx      : b^2-4ac 只能是4k-1或是4k,這樣可以刪去A,C,D  然
→ robinx      : 後B跟E的必然性不知道能不能證明
推 yasfun      : (B)(E)直接檢查蠻快的吧，(B)的b只有可能是9，(E)
→ yasfun      : 的b只有可能是4,6,8，197,263,661都是可以的質數