推 JI1 : go have fun 12/10 23:29
推 richard7777 : 讚~~~謝謝大大幫忙 12/31 13:47
※ 引述《richard7777 (plokmijn)》之銘言：
: 有一個三角形ABC
: 點P在三角形內部
: 已知AP=BC
: 試證明： BP/AC 或 CP/AB 兩個至少有一個要大於 根號2-1
: 想三個星期了，還是沒有頭緒，請各位大大幫忙一下
還是沒辦法，只好炸座標了XD
(1) 特殊情況 AB = AC
由於題目要求比例，不失一般性可以設 BC = 2，因此
B(-1, 0), C(1, 0), A(0, y), y > 0
因此 P(2sin(t), y-2cos(t)), 注意 t = 0 時 P = P0 在 A 正下方
考慮若 P 在 y 軸右側時，BP > BP0
P 在 y 軸左側時，CP > CP0
因此實際上只要證明 P0(0, y-2) 的 case 正確即可
於是 r(y) = (BP0/AC)^2 = [1+(y-2)^2]/[1+y^2]
dr/dy = [ 2(1+y^2)(y-2)-(1+(y-2)^2)2y ]/[1+y^2]^2
= 4[y^2-2y-1]/[1+y^2]^2 = 0
可解得 y = 1+√2, r(y) = 3-2√2 為最小值
因此可得當P在 y 軸右側時 BP/AC > BP0/AC >= √2-1 有最小值
同理可證當P在 y 軸左側時 CP/AB > CP0/AB >= √2-1 有最小值
因此得證
(2) 一般情況
不失一般性設 AB >= AC 且 BC = 2，令 BC 中點為 M
設 M(0, 0), A(0, y), y > 0
由於 AC 比較短，可得 C( cos(u), sin(u)), 0 <= u < pi/2
B(-cos(u),-sin(u))
同樣的 P(2sin(t), y-2cos(t)), -pi/2 < t < pi/2
t = 0 時 P = P0(2, y-2)
猜測可以找到一個等腰三角形 AB'C'
使得 BP/AC >= BP'/AC' 或者 CP/AB >= CP'/AB'
因此可以回到(1)等腰情況
並且猜測這個三角形就是 B'(-1, 0), C'(1, 0) 的情況
若 t >= 0，P 在 y 軸上或右側
考慮 P 在圓上，B 在圓外，顯然 BP 最小值發生在 P 就在 AB 上時
且 t 越大，P 越遠離 AB，則 BP 越大，因此 BP >= BP0
考慮 B, C 在單位圓上，P0, A 在正y軸，可得 BP0 >= B'P0 以及 AC >= AC'
因此 BP/AC >= B'P0/AC'，問題回到 (1) 且 P = P0 的情況
同理 t <= 0 可考慮 CP/AB
以此可得證無論何時，只要 AP = BC
皆有 BP/AC 和 CP/AB 至少一個 >= √2 - 1
1. 這個證法是強迫把一般情況整回特殊情況的做法
是一個必須先知道證明前提的超暴力做法
2. 座標化在(1)有用，但(2)沒用到
3. 以上證明說明，AM (中線)是可用的分界線，但是不是最好用的不知道
4. 希望有正常的幾何證明
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嗯嗯ow o
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