[微積] 笛卡爾曲線之漸近線

[DLHZ (going faster)]

令F(x, y) = x^3 + y^3 -3axy = 0

其中 a > 0

假設其漸近線為 yhat = mx + b

由 F(x, mx + b) -> 0 when x -> inf 來求漸近線

則  (1+m^3 )x^3 + (3m^2 b-3am)x^2 + (3mb^2 -3ab)x + b^3  -> 0 when x -> inf

如果從結果 yhat = -x-a 來看

帶入式子前三項係數皆為0

但還有末項的 b^3 不會趨近於零

這樣還能叫做漸近線嗎？

還是我過程哪裡弄錯了？

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推 Vulpix      : 第四句開始錯。F(x,yhat)不見得要趨向0。
→ Vulpix      : 漸進線是要y-yhat趨向0。你可以試試看用你原本的想
→ Vulpix      : 法套用在x^2-y^2=1上，就知道問題了。
推 hwanger     : 正如V大所說 我這裡舉另個例子
→ hwanger     : f(x,y)=xy-1 and x=0
推 hwanger     : 我想原po會誤以為有那個性質 單純以為 F是連續的 (x
→ hwanger     : 1,y1),(x2,y2)只要夠靠近 代入F的值就要差不多
→ hwanger     : 不過這是錯的 因為F不是均勻連續 而(x1,y1),(x2,y2)
→ hwanger     : 兩者都竭盡全力跑到無窮遠 而不是單純的其中一點傻
→ hwanger     : 傻地等著另一點來接近它自己
推 hwanger     : 所以為了找漸近線 建議還是用正規的作法 「將曲線
→ hwanger     : 的部份寫成函數再用V大作法 y^-y」或用「參數式」
→ hwanger     :  可以參考英文wiki
推 hwanger     : 另外所謂的C是G的漸近線 應該是指下列這件事: 考慮G
→ hwanger     : 的一個unbounded連續部份 當其上的動點p只有一個方
→ hwanger     : 向前往無限遠 並且當p試圖前往無窮遠時 p和C的距離
→ hwanger     : 會越來越小
→ hwanger     : 所以漸近線牽扯到的 實際上是動點對固定線的距離
→ hwanger     :  而不是動點對動點的距離
→ DLHZ        : 了解 感謝大家的回答
推 Vulpix      : 如果按你原始的思路，可以考慮做這件事：
→ Vulpix      : y=mx+b+o(1)代入F=0，也就是F(x, mx+b +o(1))=0。
→ Vulpix      : 這樣展開的時候就會看到一些o(1)的相關項，這些可以
→ Vulpix      : 幫你把b^3消掉。
推 hwanger     : V大的技巧很實用 又學到一課了