[試題] 103上 林太家 偏微分方程式一 Test3

[t0444564 (艾利歐)]

課程名稱︰偏微分方程式一
課程性質︰數學研究所基礎課
課程教師︰林太家
開課學院：理學院
開課系所︰數學系、數學研究所、應用數學科學研究所
考試日期︰2014年12月30日(二)，10:20-12:10
考試時限：110分鐘

試題 :

　　　　　　　　　　　　　　　　　Test 3　　　　　　　　　　　　　　12/30/2014

1. (20%)
　Let u solve
　　　　　　　　　　　　　　　u_tt - △u = 0 in R^3 ×(0,∞)
　　　　　　　　　　　　　　　u = g, u_t =h　on R^3 ×{t=0},
　where g,h are smooth and have compact support. Show there exists a constant C
　such that
　　　　　　　　　　　　　　　|u(x,t)|≦C/t　(x∈R^3, t＞0)

2. (20%)
　Solve　　　　　　　　　　　　　　　 2　　　　2
　　　　　　　　　　　　　　　u_tt - c u_xx = x　for 0＜t and all x
　　　　　　　　　　　　　　　u = x, u_t = 0 for t = 0.

3. (20%)　　　　　　　　　　　　　　 2
　(Equipartition of energy). Let u∈C(R ×[0,∞)) solve the initial-value
　problem for the wave equation in one dimension:
　　　　　　　　　　　　　　　u_tt - u_xx = 0 in R ×(0,∞)
　　　　　　　　　　　　　　　u = g, u_t = h  on R ×{t=0}.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1  ∞
　Suppose g,h have compact support. The kinetic energy is k(t):= ---∫(u_t)^2dx
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1  ∞　　　　　　　　　　　2 -∞
　and the potential energy is p(t) := ---∫ (u_x)^2dx.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2 -∞
　Prove
　(i)　k(t)+p(t) is constant in t,
　(ii) k(t) = p(t) for all large enough times t.

4. (20%)
　Prove the uniqueness of the following problem:
　u_xx - u_t = f(x,t) for 0<x<a, 0<t<T
　　u(x,0) = g1(x) for 0<x<a,
　u_x(0,t) = g2(t) for 0≦t≦T,
　u_x(a,t) = g3(t) for 0≦t≦T,
　where g1, g2 and g3 prescribed functions.(意思就是smooth function)

5. (20%)　∞ n　　　　　　　　　　　　　　　 2
　Let f∈C (R ) be a smooth function and u∈C(Ω) be a solution of
　　　　　　　　　　　　　　　　△u = f in Ω,
 　　　　　　　　　　　　　　 ∂
 　　　　　　　　　　　　u + -----u = 0 on ∂Ω,
 　　　　　　　　　　　　　　 ∂n　　　　　　　　　　　 n　 n 　2
　where △ is the standard Laplacian, Ω={(x1,...,xn)∈R : Σ xi < 1, xn > 0}
　　　 ∂ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 i=1
　and ----- is the normal derivative on the boundary ∂Ω. Prove that
　　　 ∂n
　　　　　　　　　　　　　　　lim |▽u(x)| ≦ C,
　　　　　　　　　　　　　　  x→0
　　　　　　　　　　　　　　　x∈Ω
　where C is a positive constant.

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