Re: [問題] 量子力學/薛丁格方程

[kuromu (kuromu)]

薛丁格繪景是讓算子不隨時變，態向量時變並依據薛丁格方程
隨時間演化，若將動量算子和對x微分算子做對應，
則xp-px=i(h/2π)I的關係自動內建
海森堡繪景則是態向量非時變，物理量算子時變並依據古典力學
形式的方程隨時間演化，另外加上xp-px=i(h/2π)I的量子化條件
兩者對物理量期望值的預測是一致的
雖不同形式 根本上都是在求解演化算子和期望值
歸一化應該是機率詮釋必然的要求，算子的本徵值對應觀測量，
觀測量必須要是實數而hermitian能保證之

歷史上探索發展的過程大概是這樣：           (h,hbar寫錯請見諒)
當時的old quantum theory常是以古典力學方程加上量子化條件
(推廣波爾條件成∮pdx=nh的形式)及對應原理(量子數大趨近於
古典形式)做計算及猜測
海森堡先考慮古典諧震子輻射公式，功率正比於震幅平方x^2，
他認為微觀的位置動量不具有實際意義，只當作是計算輻射頻率、
強度等觀測值的工具，他先用當時常用的action-angle coordinate
表達x，即x(n,t)=Σ [x_m(n)]e^i[mω(n)t]，m=-∞->∞,具週期性
而能以傅立葉級數表示，由n躍遷至n-m軌道時變化的能量是h[mω(n)]
則x^2=Σ b_l(n) e^i(lω(n)t],其中b_l(n)=Σ a_m(n) a_k(n),l=m+k
古典的情況是lω(n)=mω(n)+kω(n)，由對應原理可用quantum analogue
取代，即用ω(n,n-m-k)=ω(n,n-m)+ω(n-m,n-m-k)的關係式取代
理論飛躍的關鍵處是把傅立葉係數也用quantum analogue取代
猜測求和公式中的index也有類似情況，
即b(n,n-m-k)=Σ a(n,n-m) a(n-m,n-m-k)，且把x抽象對應許多
a(n,n-m)e^i[ω(n,n-m)t]構成的集合，於是x^2對應
b(n,n-l)e^i[ω(n,n-l)t]所成的集合。由傅立葉係數a_m(n)=a_-m(n)*
且ω(n,n-m)+ω(n-m,n)=0, [e^iω(n,n-m)t]*=e^iω(n-m,n)t
可猜測quantum analogue a(n,n-m)=a(n-m,n)*
他把p,x的傅立葉級數代入量子化條件∮pdx=nh，整理後
用quantum analogue置換 猜出了現代xp-px=i(h/2π)I的矩陣對角線
元素，對古典運動方程中的p,x用類似的手法得到a(n,n-m)
需滿足的某種代數方程組再進行求解
玻恩看出quantum analogue乘法的規則如同矩陣，
又ω(m,n)=(E_m-E_n)/h, a(m,n)e^i[(E_m-E_n)t/h]
其實是矩陣[a(m,n)]和對角矩陣e^i(Ht/h),e^[-i(Ht/h)]相乘後的分量，
從而寫出了正確的海森堡繪景下的物理量矩陣時變方程式
也補完xp-px=i(h/2π)I的非對角項。線性代數中的本徵問題、
對角化等技巧被引入，但是觀念停留在本徵值是觀測量，
非對角項代表transition amplitude，所謂的(態)向量只是求解
時的數學輔助工具而已。transition amplitude的概念是援引
愛因斯坦解釋黑體輻射時提出的躍遷機率(當時認為是統計意義
上的機率)。因為矩陣力學需要解代數方程，物理學家還不太熟悉
薛丁格接受物質波的概念，寫出了薛丁格方程，有多種猜法
其中我覺得比較合理的是：在古典理論中，把波動解拆成震幅和
相位變數的組合代入波動方程式，可以發現相位項遵守的方程式
猶如粒子的古典力學方程，折射率的角色類似位能。基本上模仿
就得到非時變的薛丁格方程，而這個方程本質上也是本徵值問題
而能算出正確能階。但是波函數被誤認為是粒子散佈於空間的密
度。若考慮非相對論性的能量-動量關係可猜出時變薛丁格方程式
之後多位學者把矩陣推廣成算子，結合變換理論，證明矩陣力學
與波動力學等價。波函數是態向量以某基底表示的分量，矩陣是
算子在某基底的representation。
機率詮釋則是直到玻恩用波動力學計算散射問題，他認為碰撞、
散射等實驗結果否定密度詮釋，並援引愛因斯坦在光量子論中
認為電磁場震幅平方代表了光子的機率，物質波應該也是如此，
散射問題的波函數平方代表散射後出現在某位置的機率。
考慮一個受到僅存在短暫時間的微擾位能作用的系統，
原系統各本徵態對應的amplitude係數平方代表了躍遷機率。
再加上海森堡提出不確定性原理以及Ehrenfest theorem(物理量
算子期望值符合古典方程式)而逐漸形成現代詮釋


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※ 編輯: kuromu (218.166.141.252 臺灣), 11/03/2019 04:55:16
推 wohtp: 其實薛丁格一開始想直上relativistic wave equation，但是
→ wohtp: 搞不定負能量的問題，所以最後只發表了non-relativistic理
→ wohtp: 論
→ yyc2008: 請問w大 Dirac當初不是也沒搞定負能量?
推 psion: 老薛一開始就是相對性方程 是跟實驗數據不符才改非相對性
推 wohtp: 啊原來不是負能量…
→ yyc2008: 想順便問一下,電子速度應達相對論性程度,為何非相對論性
→ yyc2008: 量子力學仍然能有不錯的結果?
推 Vulpix: 就是因為還未達相對論性程度……
→ Vulpix: 相對論修正要跟軌道磁場一起看，那就是精細結構。粗略結構
→ Vulpix: 還用不到相對論。
→ yyc2008: 謝謝V大的解釋,終於勾起我的回憶了