[問題] Legendre transform用於熱力學

[kuromu (kuromu)]

想請問一下

Legendre transform應用於Lagrangian和Hamiltonian之間的對應關係

自己感覺直觀上可接受，但是用於熱力學就覺得有點不直接：

「thermodynamic potential之間互為Legendre transform，包含了等量的資訊」

等量的資訊應該是指「不同ensemble在熱力學極限下有一樣的預測」

但這兩者的聯繫論證起來感覺不簡單，自己查到偏數學式的證明是利用

機率論把某個ensemble(例如canonical)的機率密度表示成e^[-NJ(u)]的形式

其中J(u)=βu-s(u)-F(β)，類似大數法則的概念，N->∞時，機率大都聚集在

滿足J(u)=0的狀態，也就是Legendre transform能一對一可逆變換時

使得熱力學極限下兩種ensemble是等價的

但這和Lagrangian/Hamiltonian等價相比似乎比較間接？

物理圖像上一個ensemble固定某個變數，對應的另一個ensemble

則讓該變數能漲落，似乎沒辦法從Lagrangian/Hamiltonian類比

自己只看過熱力學conjugate variables互為control/response關係的解釋

不知道透過變換聯繫的thermodynamic potential能有等價的資訊

這件事能有更好的物理直觀解釋或類比嗎？ 謝謝

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推 Vulpix: 可是如果熱力學變數的定義本身如此迂迴，那應該就只能迂迴
→ Vulpix: 了吧？如果GPHSUVFT定義可以直接一點的話，那應該可以不用
→ Vulpix: 這麼辛苦，我想。
推 wohtp: 我覺得熱力學還比較好理解
→ wohtp: 不管什麼control/response，系統總之就是個embed在R^n裡面
→ wohtp: 的n-dim manifold，你愛選哪n個變數隨你高興。
→ wohtp: 所以才說怎麼轉換都等價
推 Vulpix: 咦？力學不是Lagrangian manifold嗎？
→ wohtp: 照理講也是。其實大概是因為我只推過熱力學那邊…
→ wohtp: 咦我上面寫R^n?應該是R^2n