Re: [問題] 幾題機率統計問題

[west1996 (焦了六年變脆了)]

※ 引述《easonya (newman)》之銘言：
: 3.以下這題是自己想到的題目　不知道合不合邏輯？是否有解？
: 　某一家庭想要有小孩，他們會一直生小孩直到他有們有「連續」三個相同性別的小孩
: 　出生為止。假設生男或生女的機率相等。令Ｘ為這家庭小孩的總數，試求Ｘ的機率分配

考慮一個markov chain包含3個狀態

狀態1=連續一個相同性別的小孩
狀態2=連續兩個相同性別的小孩
狀態3=連續三個相同性別的小孩


                               1/2  1/2  0
他的transition matrix為 A = [  1/2   0   0  ]
                                0   1/2  1

其中 Aij表示從狀態i到狀態j的機率，舉例來說從狀態一(連續一個相同性別的小孩)

到狀態一的機率是1/2，到狀態二(連續兩個相同性別的小孩)的機率是1/2，到狀態三

(連續三個相同性別的小孩)的機率是0

這裡我們假設狀態三是一個absorbing state，也就是一旦達到狀態三，這個markov

chain就會一直停留在狀態三中。

          y1
設Yi = [  y2 ] ，其中y1表示在生完i個小孩之後處在連續生出一個同性別小孩這個狀態
          y3     的機率，y2 y3為另外兩個狀態的機率

          1
考慮Y1=[  0  ] ， ie生完一個小孩的時候一定在狀態一，則
          0


            1/2
Y2 = AY1 =[ 1/2 ]  ie 生完兩個小孩的時候各有1/2的機會在狀態 
             0        一或二


            1/2
Y3 = AY2 =[ 1/4 ]  ie 生完三個小孩之後有1/2的機率在狀態一，各1/4的機率在狀態二
            1/4       或三


            3/8
Y4 = AY3 =[ 1/4 ]  ie 生完四個小孩之後有3/8的機率在狀態三，也就是說有3/8的機率
            3/8       已經連續生出三個相同性別的小孩。



利用生四個小孩的窮舉法可以看出，這中間包含了1/4是一開始連續生出三個同性別的

小孩，1/8 (= 3/8 - 1/4)是生到第四次才成功的連續生出三個同性別的小孩


(這是由於我們設定狀態三是absorbing state的關係)




一般式可以表示如下：


      n-1         n-1
Yn = A   Y1，其中A   表示 A 自乘n-1次


                                  -1         -1
由於A可以對角化，存在P,B使得 A = P  BP，其中P  為P的inverse，B為一個對角矩陣，

對角線為A的eigenvalue，而P的每一個column為相對應的eigenvector


                        -1 n-1                              n-1
則 Yn 可以修改成  Yn = P  B   PY1    (因為B是對角矩陣，所以B   很好算)



令X表示家庭小孩的總數，則X的機率分佈為


             P(X=1) = 0

             P(X=x) = Yx[3]-Y(x-1)[3]    for x>=2  ，其中Yn[3]表示Yn的第三個
                                                     row的值





以上是我的想法，如果有錯還請告知。:)


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我有試著算過，其實算出來雖然有點醜但還可以接受，不過要打出來就累人了，所以就

留給有興趣的人自己算吧。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.109.40.59
推 kennylin:w大是統計之神
推 lin15:沒詳細看 但x=2應該也是0吧? 兩個小孩怎麼可能三個同性別?
→ west1996:X=2是0沒錯，因為符合一般式所以我併在下面了
※ 編輯: west1996        來自: 140.109.40.59        (08/21 16:53)
推 herbertwang:修推文要浸豬籠啦
→ west1996:...........
推 easonya:好厲害 感謝