[情報]99年台聯大微積分詳解

[c487o6k9 (如履薄冰)]

看到考試將近，雖然我也有考...未來會是對手，但還是要積陰德^^

分享一下台聯大99年微積分考題詳解!!

以下詳解都是我在網路上看到的，所以別問我會不會= =

純屬分享，偷偷賺P幣@ @



人因宿命而誕生;因命運而生活;因使命而燃燒;因夢想而偉大,

以此勉勵轉學戰友...
............................................................
甲、選擇題:共8題，每題6分，共48分。
(D)1.Use the fact that l i m(sinθ/θ)=1 to find the value of l i m(2x/tan7x).
                       θ→0                                  X→0

<sol>:
             1
令θ=7x 則x= ﹣θ 且 x→0 θ→0
             7

                      2              2                             2 1 1   2
l i m(2x/tan7x)=l i m(﹣θ)/(tanθ)= ﹣l i m(1/sinθ/θ)(1/cosθ)= ﹣﹣﹣= ﹣
X→0            θ→0 7              7 θ→0                       7 1 1   7

答案:(D)

(A)For the values of a,m,and b does the function      3,         x=0
                                                 f(x)=-x^2+3x+a, 0<x<1
                                                      mx+b,      1≦x≦2

(A)2.satisdy the hypotheses of the Mean Value Theorem on the interval [0,2]?

(A)a=3 m=1 b=4 (B)a=3 m=2 b=3 (C)a=3 m=4 b=1 (D)a=2 m=1 b=3

(E)None of the above.

<sol>:

f(x)在[0,2]必須連續且在(0,2)必需可微分，即
(Ⅰ)l i mf(x)=f(0)→l i m(-x^2+3x+a)=3→a=3
    x→0+           x→0+

(Ⅱ)l i m f(x)=l i m f(x)→l i m(-x^2+3x+a)=l i m(mx+b)→5=m+b,得b=5-m
    x→1-      x→1+       x→1-            x→1+

(Ⅲ)         3      ,x=0              -2x+3 ,0<x<1
    f(x)= -x^2+3x+3 ,0<x<1   → f'(x)=  1   ,x=1
          mx+b      ,1≦x≦2            m   ,1<x<2

f'(1)負的 =f'(1)正的→-2+3=m→m=1

∴a=3,m=1,b=4

答案:(A)


(D)3.Define    1-cosx          .Find f'(0)
               ╴╴╴, if x≠0
                 x

         f(x)=   0   , if x=0
                               1
(A)Does not exist (B)1 (C)2 (D)﹣(E)0
                               2


<sol>:

                  f(x)-f(0)        (1-cosx)/x-0        1-cosx
      f'(0)=l i m ╴╴╴╴  =l i m ╴╴╴╴╴╴ =l i m ╴╴╴
            x→0    x-0      x→0       x        x→0   x^2

         1-cos^2x             sin^2x           sinx       1          1    1
=l i m ╴╴╴╴╴╴ =l i m ╴╴╴╴╴╴ =l i m(╴╴)^2(╴╴╴╴)=1^2(﹣)= ﹣
       x^2(1+cosx)         x^2(1+cosx)           x      1+cosx       2    2

答案:(D)

(E)4.Assume x=2tan(t),y=sec^2(t)-1.Find all equation for the kine tangent to

the curve at the point where t=π/4.

(A)y= -x-1 (B)y=-x+1 (C)y=x (D)y=x+1 (E)y=x-1

<sol>:

dy   dy/dt    d/dt(sec^2t-1)   (2sec^t)(tan(t))                    dy     π
╴ = ╴╴╴ = ╴╴╴╴╴╴╴ = ╴╴╴╴╴╴╴╴ =tant ,得切線斜率m=╴｜(t=﹣)
dx   dx/dt    d/dt(2tan(t))        2sec^t                          dx     4

=1
      π           π            π
又當t=╴時，x=2tan(╴)=2,y=sec^2(╴)-1=(√2)^2-1=1,即切點(x,y)=(2,1)
      4            4             4

所以切線方程式為:y-1=(1)(x-2)→y=x-1

答案:(E)
                            1   x
(E)5.Find the limit: l i m ╴╴∫ln(t)dt
                     x→∞ xlnx 1

(A)∞ (B)-∞ (C)-1 (D)0 (E)1

<sol>:


                        x
                       ∫lntdt
       1   x            1              lnx                    (lnx)'
l i m ╴╴∫lntdt=l i m ╴╴╴=l i m ╴╴╴╴╴(羅畢達)=l i m ╴╴╴╴
x→∞ xlnx 1      x→∞  xlnx  x→∞ lnx+x(1/x)         x→∞ (lnx+1)'

       1/x
=l i m ╴╴=1
 x→∞ 1/x

答案:(E)
                                  xy^2
(C)6.Find the limit:   l i m    ╴╴╴╴.
                    (x,y)→(0,0)x^2+y^2

        1
(A)1 (B)﹣ (C)0 (D)2 (E)Does not exist
        2
<sol>:

令x=rcosθ,y=rsinθ,x^2+y^2=r^2且(x,y)→(0,0) →r=0

             xy^2        (rcosθ)(rsinθ)^2
   l i m    ╴╴╴ =l i m╴╴╴╴╴╴╴╴╴ =l i m(rcosθsin^2θ)=0
(x,y)→(0,0)x^2+y^2 r→0         r^2         r→0

答案:(C)

(A)7.Find the line inretral of F=(2xyz,x^2z,x^2y)over any path from

(0,0,0) to (1,2,3)?

(A)6 (B)9 (C)12 (D)18 (E)None of the above

<sol>:


 (1,2,3) →  → (1,2,3)                     (1,2,3)                (1,2,3)
∫       F˙dr=∫      2xyzdx+x^zdy+x^2ydz=∫      d(x^2yz)=(x^yz)︳
 (0,0,0)        (0,0,0)                     (0,0,0)                (0,0,0)

=(1)^2(2)(3)=6

答案:(A)

(B)8.Find the surface area of the portion S of the cone z^2=x^2+y^2,where z≧0

,contained within the cylinder y^2+z^2≦1.

(A)0 (B)π (C)-π (D)2π (E)-2π

<sol>:

椎面通式:z^2=x^2+y^2 → x^2=z^2-y^2 → x=±√z^2-y^2,

   偏微x       ±y     偏微x      ±z
得 ╴╴╴ = ╴╴╴╴╴,╴╴╴ = ╴╴╴╴╴
   偏微y    √z^2-y^2  偏微z    √z^2-y^2



所求面積S=2∫∫√1+(偏微x/偏微y)^2+(偏微x/偏微z)^2dydz
            R
                     y^2      z^2
         =2∫∫√1+╴╴╴╴+╴╴╴╴dydz
            R      z^2-y^2  z^2-y^2

                   2z^2
         =2∫∫√╴╴╴╴dydz,其中R:z=√1-y^2與y=z,y=-z所圍區域
            R    z^2-y^2


利用極座標轉換:
                                       π      3π
令y=rcosθ,z=rsinθ,則R={(r,θ)︳0<r<1,﹣≦θ≦╴ }
                                       4       4
    3π
    ╴
    4  1       2r^2sin^2θ
S=2∫ ∫√╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴rdrdθ
    π 0  r^2sin^2θ-r^2cos^2θ
    ﹣
    4


    3π
    ╴
    4  1       √2 sinθ
 =2∫ ∫√╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴rdrdθ
    π 0   √sin^2θ-cos^2θ
    ﹣
    4


   3π
   ╴
   4  1   √2 sinθ         1       -1   1          1      1
=2∫ ∫╴╴╴╴╴╴╴╴dθ(∫rdr)=2∫ ╴╴╴╴(-du)(﹣r^2)︳
   π 0 √1-2cos^2θ        0       1 √1-u^2       2      0
   ﹣
   4

                         1
=2(sin^-1(1)-sin^-1(-1))(﹣)
                         2
   π   π   1
=2(﹣-(-﹣))(﹣)=π
   2    2    2

答案:(B)

乙、填充題:共4題，每題8分，共32分。

                                       1
1.Evaluate the indefinite integral ∫╴╴╴dx.
                                     1+e^x

<sol>:

    1        (1+e^x)-e^x          e^x            1
∫╴╴╴dx=∫╴╴╴╴╴╴dx=∫(1-╴╴╴)dx=x-∫╴╴╴d(1+e^x)=x-ln︱1+e^x︳+C
  1+e^x         1+e^x            1+e^x         1+e^x


答案:x-ln︱1+e^x︳+C

2.Find the points on the graph of z=3x^2-4y^2 at which the vector n=<3,2,2> is

normal to the tangent plane.

<sol>:

令ψ(x,y,z)=3x^2-4y^2-z,則梯度▽ψ=<6x,-8y,-1>
                                                      →
∵曲面z=3x^2-4y^2在點(a,b,c)處的梯度▽ψ=<6a,-8b,-1>與n=<3,2,2>平行


                          6a=3t       1     1    1
即<6a,-8b,-1>=t<3,2,2> → -8b=2t,得t=-﹣,a=-﹣,b=﹣
                          -1=2t       2     4    8

               3    1    1
又c=3a^2-4b^2= ╴ - ╴ = ﹣
               16   16   8


                        1  1  1                    →
∴曲面 z=3x^2-4y^2在點(-﹣,﹣,﹣)處的切平面法向量為n=<3,2,2>
                        4  8  8
       1  1  1
答案:(-﹣,﹣,﹣)
       4  8  8


                                            4 2
3.What is the value of the double integral ∫∫ √x^3+1dxdy?
                                            0 √y

<sol>:

∵積分範圍R={(x,y)︳√y≦x≦2,0≦y≦4}={(x,y)︳0≦y≦x^2,0≦x≦2}

   4 2              2 x^2             2           x^2    2
∴∫∫ √x^3+1dxdy=∫∫  √x^3+1dydx=∫[y√x^3+1]︳  dx=∫x^2√x^3+1dx
   0 √y            0 0               0           0      0

  2        1 1           1 2         3   2  2        52
=∫(x^3+1)^﹣﹣d(x^3+1)=(﹣﹣(x^3+1)^﹣)︳= ﹣(27-1)=╴
  0        2 3           3 3         2   0  9        9

     52
答案:╴
     9

4.What is the largest value that the directional derivative of f(x,y,z)=xyz

can have at the point (1,1,1)?

<sol>:

∵f(x,y,z)=xyz在點(1,1,1)的梯度▽f︳     = <yz,xz,xy>︳     = <1,1,1>
                                  (1,1,1)            (1,1,1)

∴f(x,y,z)=xyz在點(1,1,1)沿著<1,1,1>的方向

可得最大方向導數︱▽f︳    ︱=√1^2+1^2+1^2=√3
                     (1,1,1)

答案:√3

丙、計算、證明題:共2大題，每題10分，共20分。

                             ∞    n   1
1.(a)Determine if the series Σ(-1) cos﹣converges or diverges? (5分)
                             n=1       n

                                          1  dx
  (b)Determine if the improper intergral ∫╴╴╴ converges or diverges? (5分)
                                          0x-sinx

<sol>:
                           n    1
(a)當n→∞且n為偶數時，(-1) cos(﹣)將趨近於1
                                n

                           n    1
   當n→∞且n為奇數時，(-1) cos(﹣)將趨近於-1
                                n

              n    1                          ∞    n   1
   即l i m(-1) cos(﹣)不存在，故由終值檢驗法知Σ(-1) cos﹣發散
     n→∞         n                          n=1       n

     1     1              11          11
(b)∵﹣< ╴╴╴,0<x<1 ;又∫﹣dx=l i m∫﹣dx
     x   x-sinx           0x    t→0+ tx

                1
=l i m(ln︱x︳)︳=l i m(-ln︱t︳)=+∞發散
 t→0+          t t→0+

      1  1
   ∴∫╴╴╴dx發散
      0x-sinx
............................................................................

太多了..今天先打完選擇題8題和4題填充.明天再把最後的計算題打完= =

修改文章好像不能多P幣...但未來還是會打完(版主居然M了= =)

希望大家也幫我集氣^^


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◆ From: 140.116.115.213
※ 編輯: c487o6k9        來自: 140.116.115.213      (06/27 23:35)
推 pidong:成大戰神再考一次 威哥
→ heymei0421:..你排版?而且才一題..
→ lovekwen:這....這樣也行?
→ c487o6k9:哪有一題，剛剛在打= = 的很累...
→ nick781009f:原po想上哪?
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推 rotoyd:nick大大~~暑假約一約阿很久不見了唷 ~>_^
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推 n873192000:哦哦哦哦選擇第八卡好久原來是這樣!
推 yammy1256:大推原PO    揪甘心ㄟ~！！！
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推 FightAcidlly:真是不錯的有心人
推 arebecca455:謝謝好人！
推 Hateson:推
→ c487o6k9:^^