[心得] 微積分考前略整

[BaBi (卑鄙)]

  這幾天把要考的學校題目都稍稍寫過了，
  順便藉由這篇文章做一些考前的統整，
　或許也可以幫助到一些版友。


　　※章節分類

　　  (1) 基礎知識
      (2) 極限
      (3) 連續
      (4) 導函數
      (5) 微分應用
      (6) 不定積分
      (7) 積分應用
      (8) 多變函數
      (9) 重積分
     (10) 數列與級數
     (11) 向量微積分
     (12) 微分方程


    A.基礎知識

      這部分的內容就簡述一些在微積分中頻繁或可能用到的高中數學知識。

      (a) 函數概念：奇偶函數、函數有理化、配方法、根與係數
                    牛頓一次因式檢驗、公式解、反函數、合成函數

      (b) 三角函數：平方關係、商式關係、和差角公式、倍半角公式
                    和差化積、積化和差、餘弦定理、正弦定理

      (c) 數列級數：無窮等比、等差數列、級數求和公式

      (d) 其他：Euler Formula（三角函數、雙曲函數）


    B.極限篇

      這部份則用題型來做分類：

      (a) 利用極限的柯西定義式去證明一極限式（少考）

      (b) 極限求值 - 三角極限 （極限等價式、L'Hospital或採級數解）
          極限求值 - 無窮極限 （若出現負無窮，先做代換，避免出錯，
                                由分式上下領導係數求解）
        　極限求值 - 夾擠定理 （此型形式明顯，但小心可能與黎曼和搞混）
        　極限求值 - 高斯函數 （熟記高斯函數概念，小心分段點，
                                善用討論左右及代換法）

      (c) 漸近線

          (1)水平漸近: 即解無窮極限
          (2)鉛直漸近: 分式型時常令分母為0 ( 因其定義需 -> 無窮 )
          (3)斜漸進線: 先求斜率再找截距

             註: 以上僅簡述分式型, 小心指對數之漸近.
                 有時將函式化做代分式可快速判得

    C.連續篇

      這邊主要是緊扣連續的概念：(1)極限值存在
                                (2)函數值存在
                                (3)極限值與函數值相等

      其餘則為定理記憶和應用，
      比如固定點 Fixed Point 之證明（中原期中、清大研究所）

    D.導函數篇

      (a) 導函數定義

      (b) Chain Rule　（注意對數微分法、指數微分法）

      (c) 反函數的微分、參數式表示下的微分　（ 即Chain Rule應用 ）

    E.微分應用

      (a) 洛爾均值、均值定理（拉格朗日均值）、柯西均值
        　需會其證明，並得以利用上述定理證明不等式或求近似值

      (b) 單變函數極值
        　緊扣臨界點（Critical Point）概念，求得後（端點、平穩點、奇異點），
        　若判相對，考慮一階導數判別（增減性改變與否？）
　　　　　或二階導數判別（凹口向上或向下？）
        　若求絕對則直接代入臨界點求值比較大小

      (c) 反曲點（Inflection Point）概念
          二階導數為零，三階導數不為零之點（此為Adams之定義）
        　廣義些，只需左右凹性不同，不需具二階導數存在（Larson之定義）

      (d) L'Hospital
          標準不定型（零分之零，無窮分之無窮）時可用，
        　常見於分式型，指數型，可配合等價式簡化運算。

      (E) 作圖
        　綜合凹性增減性判斷、極值判斷、函數奇偶性判斷
        　反曲點概念、漸進線求法，善會表格後依表作圖

    F.不定積分

      沒什麼重點，因為全部是重點…熟悉基本積分運算！

      (a) 變數變換法

      (b) 分部積分（IBP）

      (c) 全角代換法（常用於平方和平方差帶有根號）

      (d) 半角代換法（常用於sin, cos與多項式並於分母項）

      (e) 其他：積分漸化式

    E.積分應用

      (a) 微積分基本定理之證明及內涵

      (b) Lebniz微積分式（可經化簡為微積分基本定理）

      (c) 積分求面積（由函數型態判斷假設方向）

           (1)顯函數 f(x), g(y)型
           (2)參數表示 x = f(t), y = g(t)型
           (3)極座標型

          首要畫略圖，求交點，判斷函式大小後，
        　可能分段積分，莫忘由交點判別上下限，
        　其餘則是不定積分功力的熟稔。

            註：此型題目有時可以Green's Theorem轉為線積分做運算

      (d) 旋轉體體積（圓盤法、殼層法、Pappus's Theorem）

          同上，需由函數型態判斷列式方向，
        　小心題給函數無法以顯函式表示時，圓盤法無法得解，
        　需用殼層法求得（相關例題可見99台大微乙期中）

      (e) 形心、重心

        　熟記定義，列式求解

      (f) 旋轉表面積（重點同c,d）

      (g) 積分求弧長（重點同c,d）

      (h) 瑕積分

          熟記各種判別方式和瑕點分類判別，
        　常見 P 積分、 P 級數斂散和收斂值可背儘量背。
        　需小心奇函數斂散特性，若單邊發散，則發散，
        　不會有因為奇函數對原點對稱而必收斂至 0 之現象。

      (i) 黎曼和

          依循黎曼和的概念：分割、取樣、求和。
        　並配合高中級數公式求解。

  　 G.多變函數

      (a) 求極限值

          儘量往極限不存在做思考，善用線性代換、極座標代換、球座標代換

      (b) 連續性（同單變數概念）

        　若具連續性，則有 f  = f
                            xy   yx

      (c) 偏微分、全微分

          善用函數關係樹狀圖以便於 Chain Rule 應用，
        　此處有個概念：可偏微未必具連續性，但可全微分必連續

      (d) 梯度、旋度、散度、方向導數

          梯度和方向導數概念務必瞭解，切莫混淆，
        　此為求解多變數極值、切平面方程式重要基礎，
        　旋度和散度則需瞭解其定義及物理意義。

      (e) 多變函數極值

        　通常有以下四種方法

            (1)極值理論

               利用有極值的必要條件 df = 0 求得臨界點（同單變數極值）
               再利用 Hessian Matrix 判別極大極小或鞍點，
               雙變數則直接套用判別式 D = f  f  - f ^2 做判別
                                           xx yy   xy

            (2)柯西不等式

            (3)算幾不等式

            (4)拉格朗日乘子法（Lagrange Multipier）

               若題目含有限制條件時優先考慮，
        　　　 注意目標函數、限制函數、拉格朗日函數的選取與假設。

        　註：有題目需討論邊界點及內部點，需注意！


   H.重積分

      (a) Fubini's Theorem

      (b) Jacobian 座標轉換（球座標、極座標、廣義座標，有時須轉換多次）

      需熟稔的是變換積分次序後的上下限該如何判別，
      善用繪圖和不等式運算。

   I.數列與級數

      (a) 數列

          數列收斂和發散之定義，可配合極限一併研讀，
          可稍稍閱讀高中等比數列和等差數列。

      (b) 級數斂散

          正項級數，熟練各種判斷方法。（熟記 P 級數）
        　
          交錯級數，同上，並需知曉萊布尼茲收斂條件

      (c) 收斂區間、收斂半徑

        　由級數型式配合根式檢驗、比值檢驗法求收斂半徑，
       　 依此可得初步收斂區間，再代入邊界點檢驗斂散，
        　可得真正斂散區間。

      (d) 級數求值

      (e) Taylor's Theorem, Maclaurin Series

          記憶泰勒展開型式，並瞭解馬克勞林級數與其關係（展開點 x = 0）
          此處有求近似值和求其級數展開，
        　需熟記常見之級數，證明則由定義出發，
        　或採已知級數做四則運算（如tanx = sixx/cosx）
          或採無窮等比級數展開配合積分（如arctan x）
          或採二項式展開配合積分（如arcsin x）


   J.向量微積分

     (a)線積分

        純量函數線積分，向量函數線積分（可拆為多項純量函數線積分求解）

     (b)積分路徑相關性

        即函數是否具保守性（利用旋度是否為 0 判斷）
        配合路徑變形原理的應用（挖洞與否？）

     (c)Green's Theorem, Stoke's Theorem, Gauss Divergence Theorem

        熟記其公式，題目多為基礎公式，
        並需瞭解其物理意義，和使用條件

     　 註：此處可一併和微分方程、全微分單元閱讀
        　　瞭解恰當型（Exact）微分方程之求解方法

   K.微分方程式

     (a)分離變數型

     (b)正合恰當型( Exact )

     (c)非正合，求積分因子，乘回為正合，再求解

     (d)線性標準型，代公式

     (e)白努利變換型，轉為標準型後代公式

     (f)Cauchy - Euler型

     註：此處仍有一小觀念，即齊次函數定義。

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推 charlie19:原PO真是強大且好心腸...這篇大有幫助
推 bigbearee:尤其今年理文組分開出，就很怕理工考個非齊性微方@@
推 bettyangel:散度是否為 0 判斷是否具保守性錯了囉,應改旋度才對
推 Louisdoudou:一起加油吧 板主
→ Louisdoudou:樓樓上的大大說得對喔 應該是CurlF=0才對XDDD
        是打錯了XD 順便修一些錯字~

推 JackLeeing:實在太給力了啦
※ 編輯: BaBi            來自: 114.46.115.95        (10/26 20:34)