→ suker:第4題如果想不出來一個一個乘開在積分 118.169.79.125 07/27 15:20
※ 引述《a1978517 (AlanX)》之銘言：
: http://www.lib.pccu.edu.tw/exam/U/U-8-5/982微積分.pdf
: 第二大題 想請問 2 3 4 題 答案
: 謝謝
: 越來越沒信心了= ="
我打第2部分賺一下P幣
2. 1. ∫ x lnx dx
分部積分
∫udv=uv -∫vdu
令u=ln x ==>du=1/x dx
dv= xdx ==> v=x^2/2
u*v=(ln x)*(x^2/2)= (x^2)(ln x) /2 , ∫vdu =∫(x^2/2)*(1/x) dx
=∫x/2 dx
=x^2/4
∫ x lnx dx =uv -∫vdu = (x^2)(ln x) /2-x^2/4 +C
^^^^^^
不定積分常數要加
e^(√x)
2. ∫------- dx
√x
令u^2 = x , dx=2u du
u=√x
e^u
∫ ------- 2u du = 2∫e^u du = 2e^u +C =2e^√x +C
u ^^
記得要換回X
1
3. ∫x*√(9-x^2) dx
0
先算他的不定積分 在帶值
因為這題用變數代替上下值會很難算
√.....一般會用三角函數或....=k^2 看哪個好算
∫x*√(9-x^2) dx
令x=3sinu dx=3cosu du
√(9-x^2) =√(9(1-(sinu)^2)) =3cosu
^^^^^^^^^
(cosu)^2
∫x*√(9-x^2) dx = ∫ 3sinu *3cosu *3cosu du
=27 ∫ sinu * (cosu)^2 du
令k=cosu dk = -sinu du , du =-dx/sinu
=27 ∫-k^2 dk
=-9k^3 +C
= -9 (cosu)^3 +C
x=3sinu ==> sin u = x/3
√(9-x^2)
3 /| x cosu = ---------------
/_| 3
√(9-x^2)
(9-x^2)
= -9 * ---------- √(9-x^2) +C
27
= √(9-x^2) * [-3+x^2/3] +C
代上限1 下限0
= √8 * (-8/3) - 3*(-3)
=9 -16√2/3
4. ∫x(1+x^2)^10 dx
令u=x^2 ==>du =2x dx
dx=du/2x
∫x(1+x^2)^10 dx = (1/2) ∫ (1+u)^10 du
令k=(1+u) , dk=du
=(1/2) ∫k^10 dk
=(1/2)*k^11/11 +C
=(1/2)*(1+u)^11 /11 +C
=(1/2)*(1+x^2)^11 /11 +C
=(1/22) (1+x^2)^11 +C
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