※ 引述《MoNeNe (ﾺNㄋㄟㄋㄟ)》之銘言：
: 標題: [解題] a^2+b^2=c^2
: 時間: Mon Dec 24 20:15:45 2007
: 科目：數學
: 題目：a^2+b^2=c^2
: 尋求a b c 的整數解
: 今天看到蔡志忠的新聞聯想到的
: 這種題型好像有在數論裡有專門的單元在討論..
: 請問是什麼單元..
這種問題歸屬於數論領域中最古老的一個分枝---不定方程
所謂不定方程,
簡單的說就是....
未知數個數多於方程式個數，且對解有一定限制（比如要求解為正整數等）的方程組
通常研究不定方程要解決三個問題：
1.判斷何時有解
2.有解時決定解的個數
3.求出所有的解
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: ◆ From: 61.225.11.246
: 推 ryan24:網路搜尋Fermat或是費馬 12/24 20:22
: 推 crazymars:x^2+y^2=z^2 x=2kst y=k(s^2-t^2) z=k(s^2+t^2) 12/24 20:38
: → crazymars:其中k,s,t為自然數 s>t>0 s和t不同奇或同偶 這是通解 12/24 20:39
: 推 Jiton:商高定理阿....這很難嗎??? 12/24 21:27
: → Jiton:3 4 5 就是其中一個答案了..... 12/24 21:27
: → Jiton:越想越想轉笨版說....請問可以轉嗎? 12/24 21:28
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: Jiton 我想你誤會我意思了...
: 我當然知道這是商高定理
: (3 4 5) 我也知道是一組明顯的整數解
: 我想知道的是 a b c是否有一般整數解 類似這種的討論
滿足 a^2+b^2=c^2 其中a b c為非零的整數 (畢氏三元數)
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Q1.判斷是否有解?
Ans:(3 4 5)就是個顯然解
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Q2.有解時決定解的個數?
Ans:利用國中一年級所學的恆等式
n^2 + (2n+1) = (n+1)^2 其中n為正整數
2n+1是個奇數,若它又是個完全平方數,那就滿足a^2+b^2=c^2
顯然地...奇完全平方數有無窮多個 (例如 3^2=9 5^2=25 7^2=49 .....)
因而此不定方程為無窮多組解
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Q3:求出"通解"
Ans:在Q2中,我們論證出方程式具有無窮多組解
但這種解的形式,也就是 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41)....
並不涵蓋所有的解
換言之,Q2討論出的解形式,無法囊括所有的畢氏三元數,例如(20,21,29)
其實通解的求證並不困難,只是過程有輕微的繁瑣,我也懶的寫了...
總之結論是
(m^2-n^2) , 2mn , (m^2+n^2) 這便是畢氏三元數的通解形式
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: 如果這類的討論笨到需要轉笨版 那數論裡不需要特別討論它吧
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: → itsumo:好像是費馬最後定理 12/24 22:01
: ※ 編輯: MoNeNe 來自: 125.231.240.180 (12/24 22:18)
: → itsumo:n是大於2的整數時 x^n+y^n=z^n沒有非零的整數解 12/24 22:03
: → member5:這是費瑪最後定理,17世紀提出1994年才被破解耶(高斯都不行 12/24 22:06
: → member5:轉笨版小心會被笑唷..(除非你很快解出,n>2時的非零整數解) 12/24 22:10
本題僅僅是 n=2 的最簡化情形,和費馬大定理的難度根本是天壤之別
n=2具有無窮多組解,這即便對國中生而言也是簡單的證明
至於說找出"通解"形式,雖然說稍稍麻煩了些...
不過也早在阿拉伯數字發明前,就被古希臘數學家解決了
: → MoNeNe:j大 我歡迎你轉笨版 但你先回答我的問題後再轉 12/24 22:19
: → TwoOneboy:通解是 (m^2-n^2) , 2mn , (m^2+n^2) 12/24 22:28
: → TwoOneboy:沒看仔細 原來c大在推文中已經說了 orz.. 12/24 22:29
: → TwoOneboy:而且我寫的還是錯的 因為忘記可以同乘整數倍 12/24 22:30
: → kuroboy:這原PO的ID是摸奶奶也~~>////////< 12/24 23:14
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※ 編輯: yonex 來自: 122.100.90.240 (12/25 01:36)