作者yonex (戴奧尼索斯)
看板tutor
標題Re: 為什麼要把非零的常數多項式次數定為0
時間Wed Sep 24 17:18:10 2008
※ 引述《chang0629 (小chang)》之銘言：
: 那零多項式的次數為什麼不定義為0？而要說它沒有定義呢？
: 有沒有老師可以教我
: 我們老師教這時
: 我有點不懂
: 謝謝
定義次數函數deg，這舉例說明比較容易
ex：f(x)＝2x^3＋5 g(x)＝3x^2＋11
deg(f)＝3 deg(g)＝2 所以 deg(f‧g)＝deg(f)＋deg(g)＝5
ex: f(x)＝0 g(x)＝3x^2＋11 顯然 f‧g＝0
目前我們未定義「零多項式」的次數，所以令 deg(f)＝deg(0)＝X
deg(f‧g)＝X＝deg(f)＋deg(g)＝X＋3
整理上式得 X＝X＋3
若零多項式的次數為0，則不滿足上式，所以deg(0)≠0
滿足上式的只有一種「數」，叫無窮大（∞）
（其實有三種無窮，分別是一個無窮大∞與兩個有號無窮大－∞、＋∞）
在這裡我們將兩個有號無窮大丟入原本的實數集，當作是兩個數
（分別是上下確界，將實數緊緻化）
成為一種擴充實數集，並定義他的代數運算，其中滿足上式 X＝X＋3
OK！那麼接下來的問題是：零多項式究竟次數是＋∞還是－∞呢？
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我們用多項式的加法來檢證
ex： f(x)＝x^2 g(x)＝x^5 f＋g＝x^5＋x^2 deg(f＋g)＝5
顯然，「加法後的次數是取兩多項式次數較大者」（兩多項式次數不同）
ex： f(x)＝0 g(x)＝x^3 f＋g＝0＋x^3＝x^3
假設 deg(0)＝＋∞
依上述取次數較大者的原則 deg(f＋g)＝＋∞
顯然 deg(f＋g)＝3 而 3≠＋∞
所以排除deg(0)＝＋∞的可能，
剩下deg(0)＝－∞，代入多項式加法來檢證，確實能滿足...
因此，零多項式的次數是－∞
（註一）
以上討論雖然很簡單，不過還是有點囉唆，
這也是為什麼中學數學不討論「零多項式次數」的原因...
茲節錄〈部編版基礎數學第一冊〉內容如下：
「...f(x)＝0，也是一個多項式，叫做零多項式，
目前我們不討論它的次數。零次多項式與零多項式統稱為常數多項式。」
（註二）
零多項式的次數竟然會是負號無窮大（－∞），
這結果看起來似乎挺詭異的（會嗎？）
只要有受一點點數學訓練的人，應該都能體會，「零」和「無窮大」是一體的兩面
（註三）
這種東西並不重要...重要的是要會算題目！
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◆ From: 220.134.22.55
推 zzzxxxqqq:我到覺得這種東西才重要 09/24 17:52
→ leonwingic:我也覺得指考不會考你解釋道理的問題,所以不是那麼重要 09/24 18:05
→ zzzxxxqqq:...從不認為會考 = 重要 09/24 18:17
推 doa2:不會考的不一定不重要..但是會考的還不算重要 那怎樣才重要 09/24 19:03
→ endlesschaos:簡單來說就是重不重要跟是否會考是兩個平行條件... 09/24 22:36
推 shtmn:如果甄試口試剛好被教授問到 又不小心變重要了... 09/24 23:06
推 doa2:不會考的不一定會變成不重要 但是會考的他自然就會變"重要" 09/24 23:41
推 lyricslee:基本上原理重不重看要人啦～但在應用上是不重要的 09/26 15:40