作者arist ( 在他方 )
看板tutor
標題Re: [解題] 高一數學多項式
時間Thu Oct 31 10:35:08 2013
※ 引述《AirWall (空氣牆)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：多項式
: 3.章節：
: 多項式
: 4.題目：
: x^2-1
: --------- 是不是多項式
: x+1
: 5.想法：
: 最近因朋友拜託緣故，接了高一生數學，
: 太久沒碰很多都忘了，
: 這題答案is"不是"
: 想請問為什麼不能約掉來看呢?
: 是因為約掉後的式子意義和原本的式子意義不同嗎?
: 這該怎麼解釋?
分享一下，我在教學時，不會只給個學生答案。
首先要幫學生建立一個概念
XXX 是不是 OOO 的問題都不是數學問題。
諸如學校很喜歡考 XXX 是不是函數之類的、ＯＯＯ是不是隨機變數
就如同費曼的這個故事：
在夏天的週末,費曼的父親會帶他到山上的樹林裡漫步,並且告訴他樹林裡所進行的各種
有趣的事情。其他鄰居的母親們覺得這是很 美好的事,所以也要她們的丈夫帶她們的小
孩到樹林裡漫步。
後來他們小孩們在野外玩耍,其中一個小孩對費曼說:「看到那隻鳥兒嗎?那是甚麼鳥啊?」
費曼回答說:「我是一點也不曉得那是甚麼鳥呢。」
那小孩道:「那是褐喉歌鶇。你的爸爸真的是啥都沒有教你!」
其實他的父親說:「牠是史朋塞鳴禽,在意大利牠叫另一種名字,在 葡萄牙、中國、日本,
牠各有不同的名字。你可以學知那種鳥兒在世界各國的名字,但,學會了那些名字,
你對那種鳥兒依舊是一無所 知。你所知道的,衹是人類在世界各地如何稱呼這鳥兒而已。
所以, 還是讓我們看看那鳥兒到底在做甚麼吧,因為那才是重點。」他接著 說:「例如說,
你看那鳥兒一直在啄牠的羽毛。你看,牠走來走去,在啄牠的羽毛。」
所以呢，我來假想一個很理想的對話情境
Ｓ：「這題 (x^2-1)/(x-1) 為何不是多項式？」
Ｔ：「他是不是多項式我也不是很清楚，要看我們用哪個版本的說法。」
Ｔ：「但我們先不管他是不是多項式，我們先來欣賞一下這函數的特性。」
Ｓ：「噫，這個可以約掉成 x+1」
Ｔ：「真得可以約掉嗎？、約分是做什麼事？是什麼意思？」
Ｓ：「分母不能為 0 才能約！、那 x/x 不等於 1 囉？」
Ｔ：「x/x 在 x 不為 0 時才能約。」
Ｓ：「所以這函數有漏洞，會斷掉，不會連在一起？」
Ｔ：「『連在一起』是重點。」
Ｔ：「多項式之所重要：就是簡單有很好的結構，其中一個好特性就是連續。」
Ｓ：「連續有什麼重要的呢？」
Ｔ：「連續讓我們可以比較容易掌握他的行為，不會突然暴走」
Ｓ：「所以我們只要知道他的現在的行為，就可以推估他接下來的行為？」
Ｔ：「大致感覺是這樣的，「堪根定理」就是用到這樣的特性來找根。」
Ｓ：「堪根定理，聽起來很難耶？」
Ｔ：「堪根定理的應用就像我這個胖子都讓我可宣稱我曾經 50 kg 過。」
Ｓ：「你曾經50kg，很久以前吧！」
Ｔ：「對啊，但就是曾經有過，也沒有說天長地久。」
Ｓ：「那不連續，就不保証這樣的事情了嗎？」
Ｔ：「你看 y=(x^2-1)/(x-1) 曾經讓他的 y 值等於 2 嗎？」
Ｓ：「曾經的意思是指什麼？」
Ｔ：「函數裏面 x 的意涵大多是指時間，所以問何時，通常是問 x 為何？ 」
Ｓ：「在 y=x+1 這函數時，x 為 1，y 就等於 2」
Ｓ：「可是，x=1 無法代入 y = (x^2-1)/(x-1) 變成 0/0 ！」
Ｔ：「出現，0/0 可是會讓電腦當掉。」
Ｓ：「所以這題考試時要寫『不是』多項式。」
Ｔ：「你在寫考卷時，可以想著這是個無趣的考法。」
Ｔ：「但你可以用有深度的思維來寫下這簡單的答案『不是』」
Ｓ：「『不是多項式』是個很簡單的回答，可以說課本定義就這樣寫。」
Ｓ：「但至少有了解後，就覺得這定義是是用心良苦，這題目也是很重要。」
Ｓ：「當看到題目是多項式時，心裡就比較心安，這函數不會太亂來！」
Ｔ：「先學多項式就像先開車先開柏油路，沒有太多坑洞比較安全。」
Ｓ：「一開始就要開不平的山路，大概連開都不敢開。」
Ｔ：「那接著我們再來想 x 有絕對值、x 在根號內的好處理嗎？」
Ｓ：「x 在絕對值，太恐怖了。」
Ｔ：「課綱編輯委員也是這樣想，所以一開始就介定範圍，先把最簡單的先學好。」
Ｓ：「原來課綱的編排也是用心良苦。」
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◆ From: 123.194.206.104
※ 編輯: arist 來自: 123.194.206.104 (10/31 10:38)
推 FATTY2108:用心 10/31 12:15
推 Redsofa:不會突然暴走 XD 10/31 12:28
推 Sumboy:推一個~超用的..突然想到一個情境,如果學生問 10/31 17:44
→ Sumboy:(x^4-1)/(x^2+1)是不是多項式... 10/31 17:44
→ condensed:如果我是那學生 就會想問暴走是啥意思 嚴重在哪 10/31 22:10
→ arist:四樓問題很好，我也不知他是不是多項式，要看定義 10/31 23:09
→ arist:但我們可以感受到他在實數的行為都和 x^2-1 一致 10/31 23:11
→ arist:要判定他是否為多項式不重要 判定是多項式後做什麼才重要 10/31 23:12
→ arist:若只是拿來堪根定理堪實根 那這的確可以使用 10/31 23:13
→ arist:要跟學生建立一個概念，定義是為了溝通方便 10/31 23:14
→ arist:不要被定義綁住思考 忘了更主要的目的 必要時定義可以修改 10/31 23:14
→ arist:回五樓，我的學生這樣問時，我會說：很好，有在思考喔。 10/31 23:17
→ arist:我們多來想舉個例子感受「不連續」有什麼麻煩 10/31 23:18
→ arist:答案不是重要，我們腦裡開始思考什麼事才重要。 10/31 23:19
→ arist:要答案就去 google 但 google 到了也別相信要多做思考 10/31 23:21
→ arist:即使是大師講得也是有錯的時候，且對與錯都是相對的 10/31 23:22
→ arist:要看你的情境，能解決問題的設定與定義才是重要的 10/31 23:23
→ arist:就像費曼講的 牛頓力學 你說這是錯的，但在生活中是可以解釋 10/31 23:23
→ arist:那就把他視為對的也無礙。 10/31 23:24
→ arist:就像 平行線不相交 這件事的對錯也沒有一定。 10/31 23:25
→ arist:我都會給我學生看這段三個傻瓜的影片 3~4min 11/01 00:06
→ arist:看完後，追問個問題為何要以 machine 為例 11/01 00:09
→ arist:不用其他諸如 能量、生物、函數、元素 等其他專有名詞 11/01 00:10