Re: [閒聊] 與魔術方塊相關的研究

[XII (MathKid)]

※ 引述《seanwu (Blindest)》之銘言：
: 我目前試過的手順，大概轉個一定數量就會轉回來(R Y' - 約700次)
: 所有的手順到最後一定會解回來，
: 這很容易證明：
: 魔方組合數是有限的，依鴿籠原理，最後一定重複

這其實是代數中的group(群)的概念(或可說是group action)

這個group G 有6個 generator i.e. U,D,F,B,L,R

寫成 G = < U,D,F,B,L,R | ~~ > 後面~~是一些relation

e.g. U^4 = UUUU = 1(不動) , (RUR'U')^6 = 1 ...etc

容易算出 |G| = (8!)(3^7)(12!/2)(2^11) = 8!12!(2^10)(3^7)

由群論(group theory)易知:

任意手順 X (e.g. X=RUR'U') 回覆所需的步數(order) |X| 整除魔方組合數 |G|

e.g. |U| = 4 整除 |G|

     |RUR'U'| = 6 整除 |G|

     |Ry'| = 4*|RBLF| = 4*9*5*7 = 1260 整除 |G|

     (任意手順 X 均可手算最少回覆步數(order))

: 曾經想過"懶人解法"
: 如果有個手順，回覆所需的步數洽等於魔方組合數

不會

proof

若有某個手順 X (e.g. X=UBFB'...) 回覆所需步數 = |G|

(用代數說法,即 G 是cyclic,亦即 G 可用一個元素生成)

則 G 中每個元素均可表為 X^n for some n

即可設 R = X^m , U = X^n

則 RU = (X^m)(X^n) = X^(m+n) = (X^n)(X^m) = UR

但明顯地 RU =\= UR  (G is not abelian)

矛盾

QED

(G is cyclic ==> G is abelian ==> contradiction !)

: 那是不是同樣的步驟轉個幾兆京次，就會解回來......

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◆ From: 59.121.117.216
推 CHOIP:認真魔人……厲害!
→ CHOIP:抱歉，有一點不太懂，能否進一步解釋為何 RU = (X^m)(X^n)
→ XII:R=X^m,U=X^n ==> (R)(U)=(X^m)(X^n)
推 CHOIP:是這樣的，我不太懂 X*m 與 X^m 的定義......X^m = XXXXX ?
→ CHOIP:請問X^m是指X做m次嗎？還是...
推 rehearttw:先推數學高手！
→ rehearttw:作者說：「G 中每個元素均可表為 X^n for some n」
→ rehearttw:意思是：G = { I,X,X^2,X^3,X^4,... }，所有情況都可以
→ rehearttw:用某個動作 X 製造出來。所以 R 和 U 的動作，都可用 X
→ rehearttw:做某幾次呈現，故設 R = X^m 及 U = X^n
→ rehearttw:X^m是指X做m次。 * 在代數上是「運算」，簡單說數學上可
→ rehearttw:當作「加」、「乘」，轉方塊可當作「合成」、「動作連結
→ rehearttw:例如： R * U 表示 R 與 U 的合成，簡寫成 RU，就是做RU
→ rehearttw:不過在函數上要小心倒過來的問題，即有先做後面的情形
推 weijiunn:了不起！ 不說則已  一鳴驚人
→ weijiunn:對了 XII 今天晚上公館有板聚 XD  有空也可以來坐坐
推 kerbi:推...正好在學代數...
推 seanwu:啊啊啊 完全看不懂
推 iiIceMan:這裡變成超級數學板了 <囧>
推 CHOIP:X^m應該不是指X做m次吧？  X做1次是還原，做m次,n次還是還原
→ CHOIP:我認為原作者沒有明確定義運算子，所以這個證明是有問題的
→ CHOIP:今天作者是把RU寫成R*U，如果我們不用*改用+的話 就很好理解
→ CHOIP:對方塊公式來說，R+U =/= U+R ，因為本來RU就不等於UR
→ CHOIP:+這個運算元，在這裡是沒有交換律的，即使改符號*還是一樣
→ CHOIP:後面就不用說了...X^2 * X^3 = X^(2+3) 這又是為如何定義的?
→ CHOIP:*與^等符號，並非"乘"與"次方",只是一個符號,其運算需定義
→ CHOIP:而原作者沒有定義，只是使用原本數學上的運算，這並不正確
→ weijiunn:好像也有道理 囧rz
→ weijiunn:XII 如果看到可以再多解釋一下 :p  我是門外漢看不懂 XD
推 CHOIP:期待XII幫忙解答一下:)
推 CHOIP:我大概了解原作者的意思了，以他的前提之下，X確是不存在的
→ CHOIP:所以，並不存在這種X，使得X^|G| = 還原
→ CHOIP:這個X和我下面那篇的定義，應該是不太一樣的
推 jeff7897:(頭冒煙)