作者DreamYeh (天使)
看板puzzle
標題Re: [閒聊] 高中數學問題-因數與倍數(二)
時間Fri Apr 22 09:33:10 2011
※ 引述《rehearttw (易懷)》之銘言:
: PS:我最早聽到這題,是在高二時。
: 聽說建中某老師在上排列組合的課,一開頭就問這一題。
: 我當時還沒想出來,過了一年半上成功嶺時靈機一動解決了。
: 只要用到國中的因數與倍數的概念即可解。
: 各位有空可以想想詳解吧!
最直覺的國中證明:
1.任何數字M 因數有a1,a2,a3... (a1<a2<a3...)
依據遊戲規則在a1站、a2坐、a3又站...
最後站立即有"奇數個因數"的數字
2.再證明完全平方數才有奇數個因數即可
這還是很顯然
設一個數字M有因數a,則(M/a)也是因數,(如2是8的因數,則4也是)
代表因數大多情況下都是成雙成對出現,即因數個數為偶數
只有一種情況會使因數單獨出現,即n存在一個因數a使得a=M/a (導致最後因數個數為奇數)
這種情況即代表M是完全平方數,證畢
高中證明:
第二步中,對M做質因數分解,得 M=p1^a1 * p2^a2 * .... pn^an
因數個數為 (1+a1)(1+a2)..(1+an)
因數個數為奇數 <==> 1+a1 , 1+a2, ....1+an 全為奇數
<==> a1, .....an全為偶數
設 a1=2*b1, a2=2*b2......an=2*bn
則 M = (p1^b1 * p2^b2 .... pn^bn )^2 即為完全平方數
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— 請多指教喔!!
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