Re: [實況] 奧術神座

[rogerli ()]

好吧，看來很多人不太了解幾個幾何系統的關係，
以下簡單介紹一下。

歐幾里得在推導之前，列出 5個共同認知(common notions)，
和 5個公設(postulate 或說 axiom)。

共同認知指得是一些最基本、假如不成立則很多數學推論就無法進行
的敘述。
    c1. a=c,b=c => a=b
    c2. a=b => a+c=b+c
    c3. a=b => a-c=b-c
    c4. 若兩物可重合，則此二者相等。
    c5. 全體大於部分。

以上五點幾乎是數學推論可以存在的基礎，不能證明，也無需證明。
不過，要特別注意第五點；集合論告訴我們，部分的數量可以等於全體的數量！
像是偶數和自然數一樣多就是一個例子。

公設則是一些由數學家設定的前提，是可以否定的。
一但我們否定了某個公設，建立的就是和原先不同的另一個系統。
羅氏幾何或者黎曼幾何並未推翻歐氏幾何，只是另一個系統而已。

 5個公設：
    p1. 兩點可做一直線。
    p2. 線段可延伸成直線。
    p3. 給定一線段可用一端點為圓心，線段長為半徑作一圓。
    p4. 兩直角相等。(這有點多餘，因為可用c4證明。)
    p5. 直線 c 分別與直線 a,b 相交，若一側的內角和小於兩直角之和，
        則 a,b 於此側存在一交點。
        (等價於：過一直線外一點可作唯一一條平行線。)

p1-p4 基本上很直觀，看起來也不用證明；存在爭議的是p5，
也就是一般說的平行線公理。

數學家總是希望一個系統的公設越少越好，公設的內容越簡單越好。
p5的爭議就在於太繁瑣，內容不像公理，反而像定理(theorem)，
所以很多數學家都嘗試著運用其他的公設來證明p5。

像這種存在性證明，最好用的當然是反證法，
也就是假設存在兩條平行線，這也就是羅氏用的方法。

反證法推導到最後，是希望能得到一個矛盾(contradiction)，
如此一來就說明了不可能存在兩條以上的平行線，那唯一性就得到證明了。

但羅氏卻發現他找不到矛盾！

換句話說，把p5改成："過一直線外一點，可作兩條以上的平行線"，
也是說得通的。

只不過，羅氏當時沒想通的是，必須修改直線的定義，
平面的定義等等，他建立的數學概念才能有恰當的模型。

我們現在當然知道，羅氏幾何就是雙曲面幾何。
雙曲面的最佳範例就是馬鞍。
但在一般的應用上，我們很少需要計算雙曲面上的幾何性質，
所以羅氏幾何常常被忽視。

但由於一些天文物理學家(特別是英國愛丁堡大學的教授們)主張：
"宇宙的形狀是一個無限延伸的馬鞍。"
所以近幾年雙曲面幾何在天文物理界有受到重視。

至於黎曼幾何則是把p5改成：
"過一直線外一點，可作無限多條與此直線相交於兩點但不重合的線。"

黎曼幾何就是一般說的球面幾何，和廣義相對論關係密切。

廣義相對論提出，重力其實就是空間的扭曲，
重力透鏡效應，只是因為光總是走最短距離所造成的。

重力造成的扭曲，在宇宙中形成一個個大大小小的球面，
而黎曼幾何恰好就可以用來計算宇宙中的運動學。

在日常生活中，黎曼幾何也有很多應用，畢竟我們住在球體上。
例如：從台北直飛紐約，可以有無限多條路線，
但哪一條最短？

數學家告訴我們，球面上的兩點作出來的線段，
以圓心弧最短。
所以飛機兩點直飛的線路總是選擇圓心弧
（也就是一般說的大圓航線)。

以上就是三種幾何系統的大概。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 210.61.41.42
推 Odyseus:雖然不明白，但是感覺很厲害 XD
→ Odyseus:念書時後學的幾何全都還給老師了 :(
推 typepeter:c3. 打錯了 是a-c=b-c
→ rogerli:感謝提醒
推 ken1314:這只是國小題目而以!大驚小怪                   我看不懂
推 KG10525:可以問一下 自然數=正整數 為什麼會跟偶數一樣多嘛？
推 lejnsaryai:可以再講講還有什麼應用嗎 比起理論我更想知道這些數學
天文學上修正遠方星辰的正確位置；
生活上，鐵公、路等大型建設的規劃，
都要用黎曼幾何的概念來處理。

→ lejnsaryai:在現實中的應用  好歹比較直觀些 XD
推 reader2714:神座串每次都會變成教學時間..XDDDDDDDDDD
推 gy39764:一樣多是因為都是無限多個?
→ Rain0224:倒數第二段算是有講到應用吧
推 typepeter:L大,現實的應用,就是應用在科學上 數學比較純粹形而上
→ typepeter:基本上精密計算,以及物理化學等科學,經濟會計 都要數學
→ KG10525:可是無限大應該不能比大小吧∞/∞≠1
無限大是可以比大小的！
正整數(自然數)、偶數、奇數、所有的同餘類、整數、有理數，
這些集合的勢(cardinal)，也就是集合內的元素數量都一樣多，
我們稱之為"可數無限多"，意思是儘管無限多但我們可以一個個數清楚。

數學家的證明方法就是，只要兩個集合的元素可以一對一對應，
他們就一樣多。

例如正整數和偶數的對應：
 1  2  3  4  5 ...
 2  4  6  8 10 ...
確實可以對起來，所以一樣多。

但實數和正整數卻無法一對一！
(證明很長，此處不寫。這是理解集合論的一大關卡)
數學家證明了，實數比正整數多得多，
這種稱為"不可數無限多"。

事實上還有比實數的無限更大的無限。

連續統假設在問："是否存在可數和不可數之間的無限"；
數學家已經證明了，連續統假設在目前的數學體系下，無法得知真假。
換言之，連續統假設就是碰觸到了數學的極限，不完備性定理。
→ typepeter:應該說現代社會文明發達,是因為大量應用數學來發展科學
→ Rain0224:通常數學裡說到的應用，對一般人來說也有點遙遠 @@
→ typepeter:不過其實所謂的一般人,目前正大量使用數學發展的科技
※ 編輯: rogerli         來自: 210.61.41.42         (10/01 22:04)
推 Maiar:可能是因為偶數包含正負偶數吧 我猜
→ typepeter:其實我覺得數學就是思考邏輯及在假設下討論可能變化
→ sbshedis:一樣多是因為他們一對一對應..所以一樣多..
→ typepeter:說穿了,只要可以精準定義並量化的,都可以用數學解釋
→ typepeter:說到這個 有些古老哲學及現在風險管理思想 也可化為數學
→ Rain0224:所以不容易和一般人討論稍稍艱深的數學，對他們來說只要
→ typepeter:所以大部份人會覺得數學很無聊 玩一堆怪怪假設及證明
→ Rain0224:能使用以數學為基礎發展而得的科技產品就夠了
→ typepeter:但實際上若能夠體會那樣的遊戲性 應該會多很多樂趣
推 yangtsur:       這暴頭魔法對我無效, 因為我根本看不懂 呵呵
推 typepeter:如果空間概念好 建議去看看三維向量相關的數學
→ typepeter:我覺得最簡單的莫過於三維的向量了 而且很有趣
→ typepeter:總之,數學沒那麼難 難是在於沒人帶練新手村...
推 rayse:數學難在要有正確的概念 沒正確概念xy平面坐標照樣可以暴頭
→ typepeter:所以帶練新手村很重要啊... 像我也只能挑戰向量圓錐曲線
→ Rain0224:學數學真的需要好的引路人，不然很容易繞進彎路裡@@
→ typepeter:不過那是高中的事了...大學之後用不上(電資學院)
推 sorryfly:這就是 數學不會 和 不會數學 的差別了!
推 rayse:恩啊 而且數學蠻多東西真的跟現實經驗有衝突 雙曲整死很多人
→ rayse:話說 有人還記得龜兔賽跑 兔子永遠贏不了烏龜這例子怎麼証嗎
→ smallrod:還好我是不會數學 0.0
推 midnightsnow:跟樓上猜測一樣@@~   但還是求解~<(_ _)>
→ rogerli:目前對Zeno的悖論是否已被從數學上解決，還存在爭議。
→ rogerli:我自己是認為，從測度論的角度看，不可數無限多的加法
→ rogerli:無法處理。所以就算空間可以無限分割，但也無法處理後續。
推 gy39764:兔子贏不了烏龜是說當兔子追到原本的地方 烏龜就往前了
→ gy39764:再追到那位置烏龜又往前了  永遠追不上這個?
推 KG10525:原來是用一對一證的 我說無限大不能比大小 是因為大一微積
→ KG10525:分在上級數收斂的時候 不能用∞/∞＝1說他收斂
→ rogerli:遇到∞/∞這種的只能用羅必達了。
推 saber102:雖不明，但覺厲!!
推 Peacex:寫得好清楚唷!!! 身為文科生的我看懂了!!!
推 rayse:不確定耶 我只記得是特殊坐標系下的事件 兔子跑多快都追不上
推 KG10525:我都忘了羅畢達了...上下同時微分是吧XD
推 rayse:烏龜 十幾年前的事了 只對問題有大約的印象 剩的都忘光TOT
推 xx52002:咦  才一個月沒追就變成數學神座了嗎
→ xx52002:看完發現我數學史內容還真有點忘記了...XD
→ bmw3633:羅畢達我有點忘了 是什麼 Ｌ哈斯比偷 那東西嗎?
→ rogerli:恩，他名字裡的 H 不發音。
→ KG10525:對
推 housedodo:原PO數學系的嗎
→ birdhackor:羅畢達發音跟 low pee tall 很像
推 xobear:我走錯版了嗎? XDDDD
→ xobear:非歐氏幾何、光速恆定、模擬天體軌跡 看來相對論快問世了!
推 dodo:Guillaume Francois l'Hospital, ,L‘Hospital rule
推 Oo5566oO:烏龜的悖論 請估狗"第一次數學危機"
推 rayse:是烏龜悖論的衍生問題沒錯 越追越遠XD
→ thewid:兔子永遠贏不了烏龜
→ thewid:是在時間收斂到某個數字下 在這個時間內永遠贏不了
推 izumo123:沒看過這本，但看了大家的討論串，’這真是本好小說’。
推 justinj:龜兔賽跑的謬論會出現是因為沒有極限的觀念出現...
→ justinj:例如1+1/2+1/4+...有學過的人知道是=2..但在那邊=oo
→ GianniC:龜兔賽跑的謬論是  你描述的時間只是局部狀態  不是整體
推 raiderho:最簡單講法是，單點沒有長度，無窮多個點也可以沒有長度
推 GianniC:假設 T=2 時兔子追上烏龜  謬論一直在描述 T<2的點
→ GianniC:問題就是 T不是只有 < 2
→ GianniC:你描述 T < 2 說 兔子追不上  問題是  能說明所有T嗎??
→ GianniC:你要證明  要證明所有的T 兔子都追不到
推 rayse:我不是在問這個 我是要問他的衍生問題 芝諾悖論卡在實無窮
→ rayse:是否真實存在的前提下 我要問的是哪種前提下他成立
→ rayse:我找到答案了 在環面上悖論成立 在球面上則不成立
推 rayse:至於芝諾悖論看rogerl大的推文就好 他講得很清楚
推 Jackalxx:硍，這串看一看害我想跳神座坑了
推 nckukath:無限大可以比大小，其實就是極限的概念
→ hank780420:明明是集合的概念吧Orz
推 GianniC:Zeno悖論為什麼會成立  你假設了甚麼東西??
→ GianniC:兔子烏龜延著一個可求長的曲線前進  雙方速度函數連續
→ GianniC:兔子的速度函數>烏龜  在定義域  [0,oo)
推 rayse:環面上，因為圓線可以變為扭狀，其平行線可以象一組互相環繞
→ rayse:的圓以扭轉的形式位于一層環面上，芝諾悖論可以成立
→ rayse:也就是說 在環面上 不論烏龜兔子速度差多少 他們的運動軌跡
→ rayse:可以是兩條永不相交的平行線
推 GianniC:龜兔問題應該要在同一條曲線上競速  為什麼在兩條不同的
→ GianniC:曲線??  這假設會不會跳耀太大
推 rayse:我有點搞不懂你在問什麼 哪來的不同曲線?@@
→ rayse:這兩條平行線在同一個環面上啊 只是座標是雙曲
推 GianniC:如果是"平行線"  怎麼會是同一條曲線
→ GianniC:為什麼要假設兩人在平行線上賽跑  而不是在同一條曲線
推 rayse:呃...你在說什麼啊?@@ 平行線是兩人跑出來的軌跡 不是他們
→ rayse:在一般座標下的平行線上賽跑 他們一直是位於同一個環上
推 GianniC:是你在說甚麼  還是我在說甚麼  你定義在兩條不同的曲線上
→ GianniC:那怎麼定義追到跟超越
推 rayse:http://ppt.cc/LQbB  看非標準分析那一段
→ rayse:我沒有定義他在兩條不同的曲線上啊 是在環面上他自己扭曲的
推 rayse:追到就是兩者軌跡相交 但可以永不相交所以追不到成立
推 GianniC:那我看法完全不同  我認為問題就要定義雙方在同一條曲線
→ GianniC:移動  用參數來定義座標  參數定義在實數系的區間上
→ GianniC:如果你用的數系不是實數  或是用不同的曲線  那你要重新定
→ GianniC:義甚麼叫做追到  那我想甚麼結論都可以發生
→ GianniC:重點是  前提假設定義說清楚
推 rayse:呃...所以我不是說我問的跟你說的不一樣嗎? 我問的是在什麼
→ rayse:前提下它可以成立 不同公設本來就會推導出不同答案
推 GianniC:你有沒有想過一個問題  如果雙方在不同的曲線上  甚麼時候
→ GianniC:定義叫追到  這個一定要說清楚  如果曲線不相交就不算追到
→ GianniC:那我想很多例子可以構造
→ rayse:至於你之前說的解法其實是繞過芝諾悖論對於無窮定義上的爭論
推 rayse:不過實無窮是否存在目前還在爭論中
推 GianniC:本來Zeno悖論就不需要管極限  他本來就沒有證明甚麼東西
→ GianniC:他本來就沒有說明  所有的T都追不到  他只說他看到的T追
→ GianniC:不到
→ GianniC:他的證明根本缺乏all T這種條件
→ GianniC:如果你要定義一個集合  那樣就足以說明 all T  那也是
→ GianniC:定義巧妙啊
→ GianniC:至少本來的論述就是缺乏足夠的說明力
推 rayse:A跑出一條軌跡 B跑出一條軌跡 A要追到B一定會在某點上重合
→ rayse:也就是說這兩條軌跡上會有交點 這部分論述沒問題吧?
推 rayse:也就是你說的T=2時 兔子追上烏龜那個點
推 GianniC:那個兩條軌跡能不能大部分重合??
推 rayse:在環面上 他就是可以在同一環劃出兩條平行線然後說這個點不
→ rayse:存在 這超怪的對吧? 可他就長這樣啊
推 GianniC:為什麼要定義軌跡是平行線  然後相交才是追到?
→ GianniC:為什麼不能定義成同一曲線出發點不同
推 rayse:他沒定義是平行線 是可以劃出平行線軌跡 至於為啥相交才追
→ GianniC:本來軌跡是任意的  如果能夠說明同一條曲線能夠追到
→ GianniC:那就讓後追者移動到同一條曲線  然後用前後追問題討論
推 rayse:到 啊這不就是爭論的點嗎?
推 rayse:我想我大概知道你在說什麼了 一條曲線上是沒辦法劃出平行線
推 GianniC:這篇文章的論證讓我想到著色問題  他說明有一個很糟糕的
→ GianniC:著色方法需要很多的著色
→ rayse:但是在環面上 他就是有辦法把兩條平行線塞進去
推 GianniC:那在平面上也可以追不到啊  兩個平行線不相交所以追不到
推 rayse:你不是說在平面上同一曲線一定會相交? 哪來的平行線?
推 justinj:數學是將一個複雜的事件變成簡單及嚴謹化..
→ justinj:基本空間的定義如果不一樣當然會跑出不一樣的結果..
→ justinj:一般來說環的定義不應該出現在這裡...(這裡不數學版)