[請益] 一題三角形的題目

[AlanShore (美國海岸巡防隊)]

今天翻到一個題目，但是竟然卡住想不出來，

偏偏又剛好找不到那個題目的解答，因此上來向板上高手老師請教。

問題是這樣:

三角形ABC的周長為60，
                 __ __ __
內有一點P，如欲使AP+BP+CP為最小，
  __ __ __
則AP+BP+CP=?

謝謝各位高手的指點。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 59.121.5.143
→ cutebeauty:又是P   重心垂心中心等等等永遠分不清楚   冏
→ cutebeauty:我是說我~~~我是數學白癡   :P
→ AlanShore:我是想要知道答案，個人是覺得條件可能不足，但我想應該
→ AlanShore:有高手可以解答~~
推 IvanL:應該不是國中的三心~~~~也不是垂心
推 kkabcd:是...內接圓 圓心P 吧   ，  第一感 ，很久沒算了
→ kkabcd:不知道對還是不對...XD
推 melances: 重心吧= =....雖然我不是數學老師...
推 qoopeter:我想到的是外接圓圓心耶XD  到三頂點距離相等~~
→ cutebeauty:還有外接圓耶   更冏   高手快出來~
推 kkabcd:印象中... 內接圓到三邊距離最短
→ kkabcd:ㄜ...是外接圓  因為是三頂點到P吧
推 IvanL:內接圓是到三邊，不是到三頂點~~~~所以內心不是
→ IvanL:另，他說是在三角形內部~所以也不會是外接圓(外心)
→ kkabcd:題目說AP+BP+CP為最小  所以是外接圓圓心
→ kkabcd:囧..不是喔...  那我數學變差了
→ kkabcd:題目是不是 正三角形就有答案了XD..
推 dannisku:三角形內一點到三頂點距離和，小於周長，大於周長之半..
推 nikenight:忍不住想說 是內切圓 不是內接圓..^^"
推 IvanL:誤打XD~~~ㄐ跟ㄑ差一點XDXD~~~
推 kkabcd:XD...   是內切嗎?
→ dannisku:看到這一題腦袋閃過這個性質@@，剛吃完宵夜，等等再想.:P
推 vincent1234:是求值還是求範圍??我也只知道他們會大於30!
推 melances:20√3 應該?
推 ptrpan:３０
推 YuChHa:這題可以旋轉三角形證明  反正 反正P點到三頂點夾角皆120度
推 YuChHa:20√3 沒錯 ^^
推 coco100:還需要想嗎??答案就是20√3沒錯呀!!第五冊第三章第三節
→ cutebeauty:摳摳你好狠喔~~ 怎麼這樣啦  我沒課本ㄋㄟ
→ melances:專業的出現了><樓上幾個專業
→ ptrpan:答20√3的大大們，如果是16/16/28的三角形我就已經看到更小
推 coco100:16/16/28是鈍角三角形 P會在外面
推 ptrpan:COCO大～題目沒要求要什麼心..........為啥要跑去外面
→ coco100:題目說△ABC內部一點P 只有銳角三角形才可以
→ ptrpan:.......................鈍角三角形內部不能有點Ｐ？
→ coco100:正三角形的外接圓會有最小值 即r有最小值r=PA=PB=PC
→ coco100:鈍角三角形內部找不到一點P使得PA=PB=PC 懂嗎??
推 handsomecat3:不一定是20√3，三角形不一定是正三角形。
→ ptrpan:coco大～題目也沒要求PAPBPC相等啊...
→ coco100:鈍角三角形要在外部才能找一點P使得r=PA=PB=PC
→ handsomecat3:請用GOOGLE搜尋"費馬點"。
→ coco100:要使得PA+PB+PC有最小值必須是PA=PB=PC
推 ptrpan:我的看法是三角形越接近15/15/30，PAPBPC和越接近３０
→ AlanShore:題目並沒有說是正三角形，這才是我問題所在...
→ AlanShore:個人直覺就是條件不足以解出答案，應該是題目出錯。
推 coco100:題目不需要跟你說它是正三角形 你要自己判斷
推 ptrpan:那...事實上也真的找得到小於20√3的情況啊...coco大～
→ AlanShore:可以請coco老師貼一下詳解嗎?萬分感激!
推 coco100:簡單來說就是求正三角形的外接圓半徑
推 handsomecat3:這題根本跟外心扯不上關係，是費馬點!
→ AlanShore:如果是求正三角形外接圓半徑當然就是20√3，問題是如何
→ AlanShore:得知這是正三角形呢?
→ cutebeauty:可以各自貼做法回文一篇嗎?  降吵誰看得懂啊
→ AlanShore:可以請解出來的老師回詳解嗎? 感恩!
推 dannisku:coco 誤會題目了吧..題目應是"對任意的周長為60的三角形"
→ cutebeauty:你們的任務就是要把我這個數學白癡教會~~ 才是真本事
→ coco100:請利用兩邊和大於第三邊 可以證出銳角三角形的外接圓最小
→ coco100:我沒誤會題目呀~~~
推 ptrpan:可愛大～沒人在吵～coco大可是很專業的～
推 dannisku:這題跟外接圓無關.
→ coco100:內有一點P，如欲使AP+BP+CP為最小 <==這句話可以判斷
→ coco100:AP=BP=CP=R外接圓半徑 可以使AP+BP+CP有最小值
→ coco100:其中銳角三角形的外接圓半徑是最小的
→ coco100:銳角三角形中的正三角形 可以讓AP+BP+CP為最小
推 dannisku:上面有老師說了，這是費瑪點問題，P跟著三角形內角而變動
→ dannisku:若有一內角不小於120度，則P在該內角的頂點
→ dannisku:若三內角均小於120度，才是coco大的解法..
→ AlanShore:http://www.mathland.idv.tw/fun/fermatpoint.htm
推 ptrpan:我懂了，coco大的觀點是外接圓半徑是題目最小值 與 鈍＞銳
推 coco100:費瑪點應該不是國高中生教材有教過的東西吧~~
→ ptrpan:矛盾的地方在於雖然鈍角三角形的外接圓半徑和 大於 銳角三
→ ptrpan:但是不表示鈍角三角形內部就找不到其他點可以讓 APBPCP更小
→ AlanShore:所以有一角大於120度跟三 個角均小於120的答案各是多少?
→ AlanShore:所以我才要問到底是不是題目出錯...
→ AlanShore:費馬點以前高中數學的學資有提過。
推 coco100:先去睡覺了 明天再看看有什麼欠思考遺漏的地方 大家晚安
推 dannisku:以這題的出法，條件只夠解出如coco大的答案吧
→ ptrpan:我還是覺得是３０.００００００００００００００００００１
→ AlanShore:ptr應該是對的...剛去找到同一題，是選擇...它答案是31~
→ AlanShore:其他答案不是比30小就是比31大，看來是題目設計欠妥。
→ AlanShore:很感謝各為老師熱情的討論，這裡真的很有溫暖。
推 ptrpan:不客氣～有問題就討論討論吧～
推 andygenisu:dannisku正解
推 monkeyy:如果是選擇題的話  請找比30大又最小的答案
→ monkeyy:理由是   AP+BP>AB
→ monkeyy:         BP+CP>BC
→ monkeyy:         AP+CP>AC    =>  2(AP+BP+CP)>AB+BC+CA=60
→ monkeyy:所以 AP+BP+CP>30  上面的解釋只用三角形兩邊和大於第三邊
→ monkeyy:以正常國中程度來說  應該是比較容易的解釋方法
→ monkeyy:當然選項只有一個大於30最好。
推 Yrneh:http://myurl.com.tw/1o1m 這個很詳細 ,學而不思則罔 慎之
→ AlanShore:感謝樓上
推 coco100:所以這題沒有正確答案 只能說大於30的最小值囉??
推 Yrneh:你已經說出正確答案了 = =