Re: [請益] 挑戰數學競賽試題一題...

[doa2 (邁向名師之路)]

※ 引述《spencer05 (簡單生活)》之銘言：
: 題目如下面網頁連結所示:
: http://www.wretch.cc/album/show.php?i=eplabteg&b=3&f=1440499605&p=0
: 要求斜線部分的面積?
: (就是在內切圓內的斜線部分面積,不包括凸出圓外那兩個小三角塊)
: 個人想法如下:
: 利用 兩個扇形面積 減掉 內切圓的面積
: = 所求中間斜線面積 + (正方形 減 內切圓的面積) + 凸出圓外那兩個小三角塊
:   ^^^^^^^^^^^^^^^^                               ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 不管怎麼樣切割 就是沒辦法單獨切割算出中間的斜線面積...
: 都一定會跟凸出圓外那兩個小三角塊的面積連結在一起
: 以前有算過(中間的斜線+凸出圓外那兩個小三角塊的面積)這種的題目
: 這種比較簡單 只要用兩個扇形面積 減掉 正方形的面積就可以得到
: 但這一題 只要中間的斜線面積 不要凸出圓外那兩個小三角塊的面積
: 想了很久 就是沒辦法把兩者切割開來...
: 所以上來請教大家是否有不同的想法 還是題目的條件不夠呢?
: 謝謝大家的幫忙!
這題其實是可算的  不過在BBS上實在很難解釋(沒圖)

大家加減看  首先假定正方形左下角的點為A  內切圓的圓心為O

內切圓與大弧所交的右邊偏上方的那個點為B偏下方者為C  延長OA與內切圓交於D

那麼OBC的面積=扇形ABD-三角形AOB
                                 _
重點在角OAB並不是個特殊角  OA=5／2   OB=5  AB=10
                             _                 __
由餘弦定理可算出cos角OAB=(5／2)/8   sin角OAB=／14 /8

                              -1    _                _
因此可算出OBC面積=(1/2)10^2*cos [5／2)/8] - (1/2)(5／2)(10)sin角OAB
                       -1     _            _
                 =50cos  [(5／2)/8] - (25／7)/4

接著算扇形OBC

角BOC=180度-2*角BOD = 180度-2(180度-角BOA)=2*角BOA-180度
                              _
又由餘弦定理得cos角BOA=-1/(2／2)

則cos(2*角BOA)=2(1/8)-1=-3/4  (兩倍角公式)

故cos(2*角BOA-180度)=3/4

                          -1           -1
則扇形BOC面積=(1/2)5^2*cos  (3/4)=25cos  (3/4)

                             -1        _           _        -1
最後答案應為4*OBC+2*BOC = 200  cos[(5／2)/8] - 25／7 + 25cos  (3/4)

(如果我沒計算錯的話XD)

之前有試過用圓的方程式去做  找交點

不過反正確定角度不是特殊角..

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◆ From: 140.112.218.65
※ 編輯: doa2            來自: 140.112.218.65       (12/24 00:06)
推 vocation:這麼晚了 看到我眼睛都花了  XD
推 bonniekiss2:我跟你算不一樣耶
推 bonniekiss2:我知道了.. 你的扇形面積公式是不是少加上1/2
→ bonniekiss2:我的答案是 200cos... - 25(√7) + 25cos...
→ bonniekiss2:記得以前寫這題是高二的時候??
→ doa2:喔對  剛剛算太快了
※ 編輯: doa2            來自: 140.112.218.65       (12/24 11:46)
→ doa2:這題好像去年有人拿來問我  但現在高中不交反三角..
推 bonniekiss2:現在高中數學沒有反三角了?!
推 vocation:沒有啊 簡化很多了
推 tigerbojo:歡迎來數學版[MATH]討論.