推 TOOYA:(2)1-30留的數字跟31-60留的一樣多 依此類推~ 05/04 15:09
→ aderlilas:方法二沒錯..找[2,3,5]裡面未被刪除的數量為一個set.. 05/05 03:13
抱歉每次來都有問題要請益 XDD
這次跟上次一樣,我是有解出來,但還是想問問看其他老師的見解
(應該不會被以為是來亂或是衝文章數吧打這麼多字衝文章數也真累 XD)
範圍:等差數列 (我看學生拿來問的題目是編在等差裡面,但我覺得跟因倍數有關)
題目:所有的自然數中,先將2的倍數刪去,再將3的倍數刪去,再刪去5的倍數,
剩下的數中,第400個數是?
前言:我先問學生妳原本的想法是怎樣?
她說她一個一個列出來但找不到規律,又問我這是不是在考質數?
我說不是,像49不會被2 3 5倍數刪掉,但也不是質數,而且要數400個質數
我先放棄這題比較快 XD
所以我就說那我們先用妳的方法找找看規律
想法:
(1)用學生的想法,列出來,找規律,所以我列了1~100 XDD
綠字是3的倍數,斜的畫一條線刪掉 黃的是5的倍數
紅字是2的倍數 (因為不知顏色相加變什麼色所以不重覆XDD)
每列剩下數的個數
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 2
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 4
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 2
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 2
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 4
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 2
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 2
列完後我就說,這不就有規律嗎,每十個數留下的數是2 4 2,2 4 2.....
她也恍然大悟的說她把49跟91這種數刪掉了,她以為2 3 5倍刪掉會剩下質數
所以到此,她應該就會了
(2)我說,不過這題應該不是要妳列出這樣多找規律
先看2 3 5,找公倍數 [2,3,5]=30 (30個自然數)
2的倍數有15個 3的倍數有10個 5的倍數有6個 6的倍數有5個
10的倍數有3個 15的倍數有2個 30的倍數有1個
依排容原理(我有解釋給她聽為什麼這麼多重覆算到又要加回的,
而且30這一個數最容易被忽略)
30-15-10-6+5+3+2-1=8 所以每30個數只有8個數被留下來
如果不相信的話我們剛剛列的100個數還在旁邊可以確認看看
好,既然30個只留下8個,題目問第400個,所以400/8=50
表示每30個數一單位,所求的在第50單位裡面的最後一個留下來的數(因為整除)
30x50=1500 從1500往回推第一個被留下的數就是1499
她就滿意的回座位了....
其實我在講想法2時是有點膽戰心驚的因為怕會出錯
但是算完答案是對的聲音就變比較大聲 XDD
想請益的是...是否有更好的算法? 或是解釋?
這麼複雜的排容原理,似乎也有點小超過範圍?
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