作者LeonYo (僕は美味しいです)
看板CS_TEACHER
標題Re: [問題] 高中條件機率
時間Mon Jul 2 02:22:40 2012
就條件機率問題而言，典型的作法是利用貝士定理的概念：
設{A1, A2, ... An}是有限樣本空間S中的一個分割，B為S中的任一事件
P(Ak)P(B|Ak)
P(Ak|B) = ───────，其中1≦k≦n，i從1到n
ΣP(Ai)P(B|Ai)
題一：從一副撲克牌中押5張，已知4張是紅心，求第5張也是紅心的機率？
分割為{恰五紅心, 恰四紅心, 其他}三種狀況，已知事件B即「已見」四紅心
┌────┬─────────┬───────┐
│ Ak │P(Ak)[分母C(52,5)]│見四紅心的機率│
├────┼─────────┼───────┤
│恰五紅心│C(13,5) │1 │
├────┼─────────┼───────┤
│恰四紅心│C(13,4)C(39,1) │1/5 │
├────┼─────────┼───────┤
│其他 │略 │0 │
└────┴─────────┴───────┘
C(13,5)
根據貝士定理P(恰五紅心|見四紅心) = ──────────── = 9/48
C(13,5)+C(13,4)C(39,1)/5
題二：已知一家庭有6個小孩，在已看到5個男孩的條件下，第6人也是男孩的機率？
┌──────┬───┬───────┐
│Ak(依出生序)│P(Ak) │見五男孩的機率│
├──────┼───┼───────┤
│ MMMMMM │1/64 │1 │P(六男孩|已見五男孩)
├──────┼───┼───────┤
│ FMMMMM │1/64 │1/6 │ 1
├──────┼───┼───────┤= ────── = 1/2
│ MFMMMM │1/64 │1/6 │ 1+ (1/6)*6
├──────┼───┼───────┤
│ MMFMMM │1/64 │1/6 │與直覺答案相同
├──────┼───┼───────┤
│ MMMFMM │1/64 │1/6 │我認為1/7的答案是錯的
├──────┼───┼───────┤
│ MMMMFM │1/64 │1/6 │而這錯誤似乎由來已久?
├──────┼───┼───────┤
│ MMMMMF │1/64 │1/6 │該錯誤最大的原因在於將
├──────┼───┼───────┤
│ 其他 │略 │0 │P(Ak)P(B|Ak)當作都一樣
└──────┴───┴───────╯
※ 引述《BePi (逼屁)》之銘言：
: ※ 引述《BePi (逼屁)》之銘言：
: : 從一副撲克牌中抽五張
: : 已知有四張是紅心的情況下
: : 求第五張也是紅心的機率
: : 答案是很直觀的 9/48
: : 可是我的想法是
: : 有四張紅心: (I) 恰5張 C(13,5)
: : (II) 恰4張 C(13,4)*C(39,1)
: : 分母是(I)+(II)
: : 分子是(I)
: : 為什麼這樣會錯?
: 今天又看到同一種問題
: 一個家庭有六個小孩
: 在已經看到五個男孩的情形下 另一個亦為男孩的機率
: 答案給 1/7
: (I)六男 => 1種
: (II)五男一女 => C(6,5) = 6
: 所以答案是 1/7
: 學生問為什麼不能直覺的說答案是1/2
: 另一個人不是男就是女
: 所以1/2
: 我覺得很有道理
: 於是又聯想到我上次問的撲克牌這題
: 如果這樣算
: (I)六男: 有一種 但是要考慮是看到哪5個
: 所以是1*C(6,5) = 6
: (II)五男一女: C(6,5)*C(5,5) = 6
: 這樣算就是1/2
: 跟我上次問的撲克牌那題放在一起比較
: 我又困惑了..........
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◆ From: 180.176.81.52
※ 編輯: LeonYo 來自: 180.176.81.52 (07/02 02:25)
→ LeonYo:也或許題二的題意根本不是要問條件機率? 07/02 02:27
推 BePi:感謝這位老師提供另一種思考方式 受益良多啊!!! 07/02 11:38
→ diego99:或許可以參考一下～呵呵 07/02 13:14
→ diego99:出至 Sheldon Ross的機率論 第六版 79到80頁 07/02 13:15
→ diego99: 自 @.@ 07/02 13:15
推 BePi:懂了!所以要看選每個小孩的機率是否相等才可以運算 07/02 14:30