Re: [問題] 有人知道這pi公式的名字嗎?

[newversion (海納百川天下歸心)]

※ 引述《DrStein (啤酒肚)》之銘言：
:         上色版
:         http://nopaste.csie.org/900f4
: #define NUM_TERM 1000
: int Serial_Pi(double *pi)
: {
:         int i;
:         double step, x, sum;
:         sum = 0.0;
:         step = 1.0/NUM_TERM;
:         for(i =1; i<=  NUM_TERM; i++){
:                 x = (i - 0.5)*step;
:                 sum +=  4.0/(1.0 + x*x);
:         }/*for i*/
:         *pi = step*sum;
:         return 0;
: }/*Serial_Pi*/
:         這公式很棒啊，沒有正負交替。
:         極適合平行計算。
:         收殮又快，做一千項就有小數點七位精度
:         Leibniz formula做一千項才到小數點後第三位 0.0
:         (或是說Leibniz要作一千兩百萬才只有他一千次的精度)
:         有人知道這公式的名字/來源或推導的嗎?
:         謝謝

看起來很像 4/(1 + x^2) 的黎曼和0到1的積分，不過不是
x = (i - 0.5)*step;   改成    x = i*step;  才是黎曼和積分
黎曼和積分的收歛速度比這個慢


用 Maple 計算結果：
n是NUM_TERM
1/n* sum(4/(((k-1/2)/n)^2 + 1), k=1..n);
得到
(-2*I*n*Psi(n+1/2-I*n)+2*I*n*Psi(n+1/2+I*n)+2*I*n*Psi(1/2-I*n)-2*I*n*Psi(1/2+I*n))/n
其中 Psi = Digamma function http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function
I=√-1


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.101.202
→ newversion:有趣的是 0.5 改成任何數字都會收歛到pi，只是速度較慢
→ newversion:目前測試似乎0.5最快
→ newversion:後來想想 0.5 改成 0至1間的數字都是黎曼積分
→ newversion:改成 100、10000等較大的數字，則是在0和1附近捨棄或增
→ newversion:加有限項的黎曼積分
→ newversion:當n->∞，這些有限項不影響最後的值。
※ 編輯: newversion      來自: 114.32.101.202       (12/08 04:19)