: 1.lim  √(x^2+2x)－x =
:   x→∞

√(x^2+2x) - x = x√[1+(2/x)] - x = x[1+(1/x)-(1/2x^2)...] - x = 1 - 1/2x +...

 lim  √(x^2+2x) - x = 1
x→∞

: 2.      sin(3x)*cos(2x)
:   lim   ──────── =
:   x→∞     tan(6x)

mathematica: 不存在

: 3.a line pass through (0,0) is tangent to y=x^3+3x+1 上的(a,b) 求a

  dy               b
 ---- = 3x^2 + 3, --- = 3a^2 + 3, 又b = a^3 + 3a + 1
  dx               a

a^3 + 3a + 1 = 3a^3 + 3a, 2a^3 = 1, a = 1/2^(1/3)

: 4.  d   x
:    ─ (∫ √(t^2+1) dt ) =
:    dx   1

原式 = √(x^2 + 1)

: 5.  d
:    ─ (ln(ln(ln(secx)))) =
:    dx

                  secx * tanx                        tanx
原式 = -------------------------------- = -------------------------
        ln[ln(secx)] * ln(secx) * secx     ln[ln(secx)] * ln(secx)

:         ∞
: 6.lim   Σ (2i^2-1)/n^2 =
:   n→∞ i=0

  k                 2k(k+1)(2k+1)      k      2k^3 + 3k^2 + k - 3k     2k^3 + 3k^2 - 2k
 Σ (2i^2-1)/n^2 = --------------- - ----- = ---------------------- = ------------------
 i=0                    6n^2          n^2             3n^2                   3n^2

            2k^3 + 3k^2 - 2k
 lim   lim ------------------ = ∞ (是這樣子算嗎...?)
n→∞ k→∞       3n^2

:                2i     2        b
: 7.lim   sin((1+─)+1)─  轉成 ∫f(x)dx  求a,b,f(x)
:   n→∞         n     n        a

題目似乎少打一個Σ...

        1
原式 = ∫ 2sin(2+2x) dx, b = 1, a = 0, f(x) = 2sin(2+2x), 此題解有無限多種
        0

: 8.∫(e^x)sinx dx =

∫(e^x)sinx dx = (e^x)sinx - ∫(e^x)cosx dx = (e^x)sinx - (e^x)cosx - ∫(e^x)sinx dx

                e^x
所以說: 原式 = -----(sinx - cosx)
                 2

:         π            ∞
: 9.I(k)=∫sin(kx)dx  求Σ I(5^n) =
:         0             n=0

        -cos(πk)   1              1      cos(π5^n)
I(k) = -----------+---, I(5^n) = ----- - ------------
            k       k             5^n         5^n

 ∞           5     5     5
 Σ I(5^n) = --- + --- = ---
 n=0          4     4     2

: 10.y=(x√(x-4))/π 對 X軸旋轉的體積

因為當x→∞時, y→∞, 所以說體積∞

: 由scuendless 跟 farrenhi 聯手討論出...
: tiesto1114補完第九題+美化

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※ 編輯: hsnuyi (118.168.235.20 臺灣), 01/15/2020 20:52:19