: : 怎麼辦，好想知道出了些什麼題目唷
: : 希望有人能留下題目，以嘉惠後人
: 微積分:
: 1. lim (1+4+7+...+(3n+1))/(n+1)(n+2)
: x->+無窮
(3n+2)(n-1) 3n^2 - n - 2 3
原式 = lim ------------- = lim --------------- = ---
2(n+1)(n+2) 2n^2 + 6n + 4 2
: 2. 求出下列的dy/dx值
: (a) y=[cos(1-2x)]^4
y' = 8sin(1-2x)[cos(1-2x)]^3
: (b) (xy)^(1/2)=1
1 dy -y
-------------(ydx + xdy) = 0, ---- = ----
2(xy)^(1/2) dx x
: 3. 有一個particle順著 y=ln(x) 的軌跡 往右上方向跑
: 已知 x方向上的 changing rate= x^(1/2) m/s
: 求出 y方向上在 point (e^2,2) 上的 changing rate
1 dy 1 dx dy 1 dy 1
dy = ---dx, ---- = ---*----, ---- = ---------, ---- = ---
x dt x dt dt x^(1/2) dt e
: 4. 求出下列的積分值 (我不會打積分符號 以S取代)
: (a) S (x /(4-x^2))dx
令 4-x^2 = t, dt = -2xdx
-1 dt -ln|t| -ln|4-x^2|
原式 = ---- S---- = -------- = ------------
2 t 2 2
: (b) S (9/ (81-X^4))dx
81-x^4 = (9+x^2)(9-x^2) = (9+x^2)(3+x)(3-x)
9 1 1 1
------------------- = --------- + --------- + ----------
(9+x^2)(3+x)(3-x) 12(3+x) 12(3-x) 2(9+x^2)
1 1 1 x 1 1 x
原式 = ----ln|3+x| + ----ln|3-x| + ---arctan(---) = ----ln|9-x^2| + ---arctan(---)
12 12 6 3 12 6 3
: 5. 寫出下列級數為converge 或 diverge ,並說明原因(以&取代sigma)
: +無窮
: (a) & 1/n^(1/2)
: n=1
1 -1
令 f(n) = ---------, f'(n) = ---------- < 0, 當n>=1, 所以說f(n)恆遞減
n^(1/2) 2n^(3/2)
dn |+無限
S --------- = 2n^(1/2)| = 無限大
n^(1/2) |1
原式 diverge, by integral test
: +無窮
: (b) & (-1)^n [1/n^(1/2)]
: n=1
: (p.s. 對不起 打得很難懂 反正a是b取絕對值的級數)
1
令 f(n) = ---------, f(n) > 0, 當n>=1, 又由(a), f(n)恆遞減, 且 lim f(n) = 0
n^(1/2) x->無限
所以說原式 converge, by alternating series test
: 6. 已知 f=W(u,v) , fuu+fvv=0 ,又 u=(x^2-y^2)/2
: v=xy 試證 Wxx+Wyy=0
Wxx + Wyy 我以 fxx + fyy 表示
df df du df dv df df
---- = ----*---- + ----*---- = ----x + ----y
dx du dx dv dx du dv
d^2f d df df d df d^2f du df d^2f dv d^2f
------ = ----*----x + ---- + ----*----y = ------*----x + ---- + ------*----y = ------x^2 +
dx^2 dx du du dx dv du^2 dx du dv^2 dx du^2
d^2f df
------y^2 + ----
dv^2 du
df df df d^2f d^2f df d^2f
---- = ----(-y) + ----x, ------ = ------y^2 - ---- + ------x^2
dy du dv dy^2 du^2 du dv^2
fxx + fyy = fuu*x^2 + fvv*y^2 + fu + fuu*y^2 + fvv*x^2 - fu = (x^2 + y^2)(fuu + fvv) = 0
: 7. 題目太難打了 反正是 一題SUBSTITUTION的INTEGRAL
: (Jacobian那個) 有提示你 u=.... v=...
: 也就是用到: SS f(x,y)dxdy= SS f(u,v)|J(x,y)|dudv
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※ 編輯: hsnuyi (118.168.236.205 臺灣), 09/12/2019 01:05:51