Re: [考題] 102 微積分

[newversion (海納百川天下歸心)]

來對個答案吧
※ 引述《newversion (海納百川天下歸心)》之銘言：
: 1.
: 求 x=ky^2 的 Orthogonal_trajectory Family
x=ky^2 =>  dx = 2kydy => dy/dx = 1/2ky

Orthogonal_trajectory =>  dy/dx = -2ky
dy/y = -2kdx => ln(y) = -2kx + C => y = A exp(-2kx)

: 2.
:    y^2
: -----------
: x^2 + y^2
: (x,y) -> (0,0) 時 limit = ?
path y=0 --> 0
path y=x --> 1/2
所以 limit 不存在
: 3.
: (a) ln(1+x) 的 麥克老林級數
: (b) ln cosx 的 麥克老林級數
(a) f' = 1/(1+x) = 1 -x +x^2 -x^3 ... for all |x|<1
積回去
 f = x -x^2/2 +x^3/3 -x^4/4 ...

x=1 也收斂(交錯級數) , By Abel Thm
1 -1/2 + 1/3 .... = limit ln(1+x) --> ln2
                    x->1-
收斂區間 = (-1,1]

(b)
剛開始打算 ln (1 + (-x^2/2 + x^4/4 ....) ) 硬爆，發現行不通

f(x) = ln cosx
     -sin(x)
f' = -------- 令=  a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + ...  -----(*)
       cos(x)
積回去 f = a0 x + a1 x^2/2 + a2 x^3/3 + ....

由(*) 展開
-(x -x^3/3! +x^5/5! ... ) = (a0 + a1 x + a2 x^2 + a3 x^3 + ...) (1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6!....)
比較系數 a0 , a2 , a4 = 0
這邊超煩的，我有好幾個算錯，以下是電腦跑的結果
a1/2 = -1/2
a3/4 = -1/12
a5/6 = -1/45

: 4.
:                     ∞
: staring with f(x) = Σx^n
:                     n=0
: (a)
: ∞
: Σ  n(n-1)x^n = ?
: n=2
     ∞
f' = Σn x^(n-1)
     n=1
      ∞
f'' = Σn(n-1) x^(n-2)
      n=2
                   2 x^2
所求 = x^2 f'' = --------
                  (1-x)^3
: (b)
: ∞      n^2
: Σ  -----------
: n=1    2 n
: (ps, 發散，題目應該印錯吧)
: 可能是想問
: ∞     n^2
: Σ  -----------
: n=1    2^n
      ∞
xf' = Σn x^n
      n=1
            ∞
f' + xf'' = Σn^2 x^(n-1)
            n=1
                ∞
xf' + x^2 f'' = Σn^2 x^n
                n=1
代 x = 1/2 ==> 6
: 5.
: 設f連續
: x
: ∫f(t)dt = sin(x/2)
: 0
f(x) = (1/2) cos(x/2)
:        x                x
: (a) 證 ∫f(t)dt = -1 + ∫f(t)dt
:        π               0
x    0     x
∫ = ∫ + ∫
π   π    0
0      π
∫ = -∫ (1/2) cos(x/2) dx = -1
π     0
: (b)
: d   x^2
: -- ∫f(t)dt = ?
: dx  x
f(x^2) 2x - f(x) = x cos(x^2/2) - (1/2) cos(x/2)
: 6.
: 給 x^2+y^2+z^2=4 ，求 離 (6,2,-2) 最遠和最近的點
                           ^^^^^^^^
令 f = (x-6)^2 + (y-2)^2 + (z+2)^2
2(x-6) = λ2x --1
2(y-2) = λ2y --2
2(z+2) = λ2z --3
(i) 若λ=0 ... blah blah 不合
(ii) 若λ≒0
1/2 ==> (x-6)/(y-2) = x/y ==> x=3y
1/3 ==> (x-6)/(z+2) = x/z ==> x=-3z
代入
x^2 + (1/9)x^2 + (1/9)x^2 = 4 ==> (11/9) x^2 = 4 ==> x= ±6/√11
(6/√11 , 2/√11, -2/√11)
(-6/√11 , -2/√11, +2/√11)
沒時間代進去算誰是最大/最小

ps, 其實也不用代進去算，剛剛才發現
比較
(6/√11 , 2/√11, -2/√11) ==>  (正-6)^2+(正-2)^2+(負+2)^2 <---- 小
(-6/√11 , -2/√11, +2/√11) ==>  (負-6)^2+(負-2)^2+(正+2)^2 <---- 大
: 7.
: ∞
: ∫ exp(-x^2) dx
: -∞
√π
: 8.
: ∞     1
: Σ  ------  是否收斂，若收斂，求其值
: n=1   n^2
Integral Test => 收斂
: 求值，初微程度還求不了吧？ 我直接背答案 Pi^2/4  ，結果背錯，是 Pi^2/6 囧
: 參考 http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_09/index.html
: 9.
: 四點 (1,0) (2,0) (0,-1) (0,-2)  所圍區域R
: 求
: ∫∫ exp((x+y)/(x-y)) dxdy
:  R
令 v=x+y , u=x-y
duv    1  -1
--- = |     | = 2
dxy    1   1

∫∫ (1/2) exp(v/u) dv du
 R'
2 u
∫∫ (1/2) exp(v/u) dv du
1 -u
2                 v=u
∫(1/2) u exp(v/u)|   du
1                 v=-u
2
∫(1/2) u (e - 1/e) du
1
(e - 1/e) 3
------------
     4



有錯請指正。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.251.86
→ dapy4372:呼lncosx 算超久
※ 編輯: newversion      來自: 140.112.251.86       (07/25 21:04)
→ hsnuyi:沒想到會在這看到你XDD
→ newversion:樓上，要不要PO個物理解答，我很多用掰的
→ hsnuyi:干涉繞射那些的我已經不行了... 公式都忘光嚕
→ hsnuyi:3.(b)其實有背tan(x)的展開就可以寫了 課本上有
→ hsnuyi:6.是個圓吧? 畫條線過原點就好
→ hsnuyi:是個球 抱歉寫錯了
※ 編輯: newversion      來自: 140.112.251.86       (07/25 22:12)
推 k300plus:第四題感覺答案不唯一
→ wrytus: 第一題k要先換掉喔  因為他是x,y的函數 積分時這樣算會忽
→ wrytus: 略掉