泛型指標（Iterators）與 Traits 技術
侯捷 [email protected]
http://www.jjhou.com
第一次發表於 Run!PC 雜誌 March, 2000
1. 大局觀：泛型程式設計與 STL 2000.02
=> 2. 泛型指標（Iterators）與 Traits 技術 2000.03
3. 泛型容器（Containers）的應用與實作 2000.04
4. 泛型演算法（Generic Algorithms）的應用與實作 2000.05
5. Adaptor 與 Function Object 的應用與實作 2000.06
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Iterators（泛型指標）的中心觀點就是：如何讓資料結構和演算法兩者
之間能夠彼此不互知地發展，而最後又能夠沒有間隙地膠合在一起。
註1：本文對 iterator 來龍去脈的說明，大量得助於 [Austern99]。
該書頗多筆誤，本文已修正，並附上一個完整範例程式。
註2：本文所描述的 traits 技術，大量運用 struct。C++ 的 struct 幾乎
等同於 class，唯一差別在於其內的存取層級預設為 public，而
class 內的存取層級預設為 private。
●一個簡易的例子
試看以下例子。假設有一個搜尋演算法 find()，
以線性搜尋的方式尋找指定的某個元素。這個任務可輕易以 function tempalte 完成：
template <class I, class T>
Iterator find(I first, I last, const T& value)
{
while (first != last && *first != value)
++first;
return first;
}
其中 template 參數 I 代表一個「類似指標」的東西，T 代表搜尋標的物的型別。
由於我們要求 I 具備類似指標的性質，所以它應有提領（dereference）、
累進（increment）的能力。這個 function template find() 是一個具備
泛型概念的演算法。
現在，假設有一個原本就已發展出來的資料結構 int_node：
struct int_node {
int val;
int_node* next;
};
如何將這個資料結構套用在上述的 find() 演算法當中呢？我們需要
加上一層外包裝。事實上，這種「加一層間接性」以解決問題的作法，
層出不窮地出現在電算領域中。
我們希望寫出一個 wrapper class，權充 int_node 的指標。
當我們對它做提領（dereference）動作時，傳回的是標的物 int_node；
當我們對它做累進（increment）動作時，則造成它指向（代表）
下一個 int_node object。
為了讓這個 wrapper 適用於任何型別的 node（而不只限於 int_node），
可以將它設計為一個 class template。以下就是我們的 node_wrap：
template <class Node>
struct node_wrap {
Node* ptr;
node_wrap(Node* p = 0) : ptr(p) { } // default ctor
Node& operator*() const { return *ptr; }
Node& operator->() const { return ptr; }
// pre-increment operator
node_wrap& operator++() { ptr = ptr->next; return *this; }
// post-increment operator
node_wrap& operator++(int) { node_wrap tmp = *this; ++*this; return tmp; }
bool operator==(const node_wrap& i) const { return ptr == i.ptr; }
bool operator!=(const node_wrap& i) const { return ptr != i.ptr; }
};
現在，我們可以這樣子將它們搭配起來：
void main()
{
int_node *list_head, *list_tail;
int_node *in = new(int_node);
in->val = 100;
in->next = 0;
list_head = list_tail = in; // list 頭尾
for (int i=0; i<10;++i)
{
int_node* in = new(int_node);
in->val = i;
in->next = 0;
list_tail->next = in; // list 串接
list_tail = in;
}
// 此時的 list 內容為 100,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
node_wrap<int_node> r; // VC6[o] CB4[x] G++[o]
r = find(node_wrap<int_node>(list_head), node_wrap<int_node>(), 10);
if (r != node_wrap<int_node>())
std::cout << (*r).val << std::endl; // output: none
r = find(node_wrap<int_node>(list_head), node_wrap<int_node>(), 3);
if (r != node_wrap<int_node>())
std::cout << (*r).val << std::endl; // output: 3
}
我們可否在上述 list_head 和 list_tail 指出的串列形成之後，
直接以 find(list_head, null, 5) 來搜尋 '5' 這個元素呢？如果這
能夠成功，也就不需要大費周張地寫一個 node_wrap 了。是的，
答案當然是不行，因為 find() 之中對於 iterator 的累進（++）動作，
list_node 無法瞭解，無法提供對應的服務。
●Iterator 相關型別（associated type）
上述的 node_wrap，提供了一個 iterator 雛形。如果將思緒拉得更遠
更宏大一些，我們會發現，演算法之中用到 Iterator 時，很可能會
使用其相關型別（associated type）。什麼是相關型別？
例如「iterator 所指標的物」的型別便是。當你有需要在演算法中
宣告一個以「iterator 所指標的物之型別」為型別的變數，如何是好？
畢竟 C++ 並未支援 typeof(*iterator) 這樣的指令！
有一個解決辦法：利用 function template 的引數推導。例如：
// VC6 [o], BCB4 [o], G++ [o]
template <class I, class T>
void func_impl(I iter, T t)
{
T tmp;
// ...
};
template <class I>
inline
void func(I iter)
{
func_impl(iter, *iter);
}
int main()
{
int i;
func(&i);
}
我們以 func() 為對外介面，實際動作則全部設計在 func_impl() 中。
由於 func_impl() 是一個 function template，呼叫它時編譯器會自動
進行 template 引數推導。於是推導出上例的 T type。順利解決了問題。
template 引數推導機制（arguments deduction），在 STL 中佔非常重要的角色。
Alexander Stepanov（STL 的創造者）在與 Dr. Dobb's Journal 進行
的訪談中說道：『1992 我重回 generic-library 的開發工作。
這時候 C++ 有了 template。我發現 Bjarne 完成了一個非常美妙的設計。
之前我在 Bell Lab 曾參與數次 template 的相關設計討論，並且
非常粗暴地要求 Bjarne 應該將 C++ template 設計得儘可能像 Ada generics 那樣。
我想由於我的爭辯是如此地粗暴，他決定反對。我瞭解到在 C++ 中除了
擁有 template classes 之外還擁有 template functions 的重要性。
然而我認為 template function 應該像 Ada generics 一樣，也就是說
它們應該是 explicit instantiated。Bjarne 沒有聽進我的話，
他設計了一個 template function 機制，其中的 template 是
以一個多載化機制（overloading mechanism）來進行 implicitly instantiated。
這項特殊的技術對我的工作具有關鍵性的影響，因為我發現它使我
得以完成 Ada 不可能完成的許多動作。我非常高興 Bjarne 當初
沒有聽我的意見。』（請參考 DDJ 1995 年三月號）
●之一：value type
Iterator 所指標的物之型別，我們稱之為該 iterator 的 value type。
上述所謂的 "type inference trick"（型別推論技巧）雖然可用，卻非
全面可用：萬一 value type 必須用於函式的傳回值，就沒輒了，畢竟
函式的回返型別並不在 template 引數推導的參考範圍內。
我們需要其他方法。使用巢狀式的型別宣告似乎是個好主意。這次的作法
有點像先前所提的 node_wrap：
// VC6 [o], BCB4 [o], G++ [o]
#include <iostream>
template <class T>
struct MyIter {
typedef T value_type; // nested type（巢狀式的型別宣告）
T* ptr;
MyIter(T* p=0) { ptr = p; }
~MyIter() { delete ptr; }
};
template <class T>
typename MyIter<T>::value_type // 這是 func 的回返型別
func(MyIter<T> ite)
{ return *(ite.ptr); };
void main()
{
MyIter<int> ite(new int(8));
std::cout << func(ite) << std::endl; // 8
}
當我們把型別為 MyIter<T> 的 ite 傳入函式時，函式便可以使用
typename MyIter<T>::value_type 做為型別；至於 ite 的指標性質則以
ite.ptr 來遂行。
這看起來不錯。但是有個陷阱存在。並不是所有的 iterator 都是 class 或 struct。
原生指標就不是！但是 STL 必須接受原生指標做為一種 iterator。所以
上面這樣還是不夠。有沒有什麼辦法可以讓上述的泛型概念針對特定的
某些情況做特殊的設計呢？
有，利用 partial specialization 就可以做到。
任何完整的 C++ 書籍對於 partial specialization 均有說明。
大致的意思是：如果 class template 擁有一個以上的 template 參數，
我們可以針對某一個（或某一組）template 參數（而非針對所有的 tempalte 參數）
進行特殊化。也就是說，可以供應一個 template 版本，符合一般化條件，
但其中某些 template 參數已經被實際型別或數值取代。這可以被用來
定義一個比泛型版本更專屬或是更有效率的實作品。
如果有一個 class template 如下：
template<typename U, typename V, typename T>
class C { ... };
上述對 partial specialization 的定義，容易誤導我們以為所謂
「局部性特製版本」一定是對 template 參數 U 或 V 或 T（或其任意組合）
指定特定引數值。事實不然，[Austern99] 對於
partial specialization 的定義使我們得以跳脫這樣的框框。他說：
『所謂 partial specialization 的意思是提供另一份 template 定義式，
而其本身仍為 templatized』。
由此，面對以下的 class template：
template<typename T>
class C { ... }; // 這個泛型版本適用於任何型別的 template 引數
我們便容易接受它有一個型式如下的 partial specialization：
template<typename T>
class C<T*> { ... }; // 這個特殊版本適用於 template 引數為指標者
有了這項利器，我們可以解決前述「巢狀式型別宣告」未能解決的問題。
先前的問題是，原生指標不是 class，因此無法為它們定義巢狀型別。
現在，我們可以為指標型別的 template 引數設計 partial specialization。
假設我有一個 class template 如下：
template <class Iterator>
struct iterator_traits { // traits 是「特性」的意義
typedef typename Iterator::value_type value_type;
};
它有兩個 partial specializations：
template <class T>
struct iterator_traits<T*> { // 針對「template 引數為指標型別」的特殊版本
typedef T value_type;
};
template <class T>
struct iterator_traits<const T*> { // 針對「template 引數為 const 指標型別」的特
殊版本
typedef T value_type; // 注意，型別為 T 而非 const T
};
於是當我們在 template function 中需要 I 的 value type 時，便可以這麼寫：
typename iterator_traits<I>::value_type;
不論 I 是任何型式的 iterator，甚至是原生指標，上行都成立。
這樣的型別可以運用做為 algorithms 的函式回返型別，於是解決了先前的問題。
●之二：difference type
另一個與 iterator 相關的型別是其 difference type，用來表示
兩個 iterator 間的距離。也可以用來表示一個容器的最大容量。
這個問題仍然可利用前述的 traits 技術解決。至於原生指標，
我們可以設計對應的 partial specializations，在其中使用
C++ 語言內建的 ptrdiff_t（定義於 <cstddef> 表頭檔中）：
template <class Iterator>
struct iterator_traits {
typedef typename Iterator::value_type value_type;
typedef typename Iterator::difference_type difference_type;
};
// partial specialization for regular pointers
template <class T>
struct iterator_traits<T*> {
typedef T value_type;
typedef ptrdiff_t difference_type;
};
// partial specialization for regular const pointers
template <class T>
struct iterator_traits<const T*> {
typedef T value_type;
typedef ptrdiff_t difference_type;
};
於是當我們在 template function 中需要 I 的 difference type 時，便可以這麼寫：
typename iterator_traits<I>::difference_type;
●之三：reference type
從「iterator 所指標的物之內容是否允許改變」的角度觀之，iterators 分
為兩種：const（常數的）iterators 和 mutable（可變的）iterators。
當我們面對 mutable（可變的）iterators 做提領（dereference) 動作時，
獲得的不應該是個 rvalue，必須是個 lvalue。C++ 函式如要傳回 lvalue，
都是以 by reference 的方式傳回，所以當 p 是一個 mutable iterators 時，
如果其 value type 是 T，那麼 *p 的型別不應該是 T，而應該是 T&。
以此道理擴充到 const iterators p 身上，如果其 value type 是 T，
那麼 *p 的型別不應該是 const T，而應該是 const T&。
換句話說 *p 的型別不應該是 p 的 value type，而應該是所謂
的 reference type。
●之四：pointer type
pointers 和 references 在 C++ 中有非常密切的關連。如果「傳回一個
lvalue，代表 p 所指之標的物」是可能的，那麼「傳回一個 lvalue，
代表 p 所指之標的物的位址」也一定是可能的。
也就是說，我們一定（必須）能夠傳回一個 pointer，指向該 object。
事實上這些 types 已經出現在本文一開始的 node_wrap class 中。
該 class 的 operator* 傳回一個 Node&，operator-> 傳回一個 Node*。
前者便是其 reference type，後者便是其 pointer type。
現在我們把兩個新的 iterator associated types 加入 traits 內：
template <class Iterator>
struct iterator_traits {
typedef typename Iterator::value_type value_type;
typedef typename Iterator::difference_type difference_type;
typedef typename Iterator::pointer pointer;
typedef typename Iterator::reference reference;
};
// partial specialization for regular pointers
template <class T>
struct iterator_traits<T*> {
typedef T value_type;
typedef ptrdiff_t difference_type;
typedef T* pointer;
typedef T& reference;
};
// partial specialization for regular const pointers
template <class T>
struct iterator_traits<const T*> {
typedef T value_type;
typedef ptrdiff_t difference_type;
typedef const T* pointer;
typedef const T& reference;
};
●concept Iterator 的分類
最後一個 iterator associated type 會引發比較大的寫碼工程。
在那之前，我必須先討論 Iterator 的分類。
Iterators 是一個 concept，而指標是其中一個 model。Iterators 並非
只是單一的 concept，它是一大家族，共有五個不同的 concepts：
1. Input Iterator - 不允許外界改變 iterator 所指物件。唯讀（read only）性質。
2. Output Iterator -- 唯寫（write only）性質。
3. Forward Iterator -- 允許「寫入型」algorithms 使用同一個範圍做讀/寫動作。
這樣的 algorithms 例如 replace()。
4. Bidirectional Iterator -- 支援雙向移動。某些 algorithms 需要
逆向巡訪某個範圍，例如逆向拷貝某範圍內的元素，就可以使用
這種 Bidirectional Iterators。
5. Random Access Iterator -- 先前四種 iterator concepts 都只供應
一小組指標算術運算能力（(1),(2),(3) 允許 operator++，
(4) 允許 operator--），Random Access Iterator 則涵蓋其餘
所有指標算術運算能力，包括 p+n, p-n, p[n], p1-p2, p1<p2。
此一 concept Iterators 的分類與從屬關係，可以圖一表示。
直線與箭頭代表的並非 C++ 的繼承關係，而是 concept 與 refinement 的關係。
圖一/ concept iterators 的分類與從屬關係
figure2.1
●之五：iterator tags
通常，設計 algorithms 時，我們會令一個 algorithm 對
某種 iterator concept 提供一個明確的定義，
而針對該 concept 的 refinement 提供另一種定義。例如我們有個 algorithm
適用 Forward Iterator，那麼當然你以 Random Access Iterators 餵給他，
他也會接受，因為 Random Access Iterators 必然是 Forward Iterator（見圖一）。
但是可用（usable）並不代表最佳（optimal）。
以 advance() 為例。這是其他 algorithms 內部常用的一個函式。
此函式有兩個參數，iterator p 和數值 n；函式內部
將 p 累進 n 次（前進 n 距離）。下面有三種不同的
定義，一是針對 Input Iterator， 一是針對 Bidirectional Iterator，
一是針對 Random Access Iterator。並沒有特別針對 ForwardIterator
而設計的版本，因為其動作和 InputIterator 版全無二致。
template <class InputIterator, class Distance>
void advance_II(InputIterator& i, Distance n)
{
for ( ; n > 0; --n, ++i ); // 單向，逐一前進
}
template <class BidirectionalIterator, class Distance>
void advance_BI(BidirectionalIterator& i, Distance n)
{
if (n >= 0) // 雙向，逐一前進
for ( ; n > 0; --n, ++i ) { }
else
for ( ; n < 0; ++n, --i ) { }
}
template <class RandomAccessIterator, class Distance>
void advance_RAI(RandomAccessIterator& i, Distance n)
{
i += n; // 雙向，跳躍前進
}
現在，當程式呼叫 advance()，應該使用上述哪一個定義呢？
如果選擇 advance_II，對 Random Access Iterator 而言
就極度缺乏效率，原本 O(1) 的操作竟成為 O(N)。如果選擇 advance_RAI，
則它無法接受 Input Iterator。我們需要將三者合一。你可以想像成這樣：
template <class InputIterator, class Distance>
void advance(InputIterator& i, Distance n)
{
if (is_random_access_iterator(i))
advance_RAI(i, n);
else if (is_bidirectional_iterator(i))
advance_BI(i, n);
else
advance_II(i, n);
}
但是在執行時期才決定哪一個版本，會影響程式效率。
最好是在編譯期就選擇正確的版本。多載化函式機制可以達成這個目標。
目前這三個 advance() 版本的兩個函式參數，其型別都是 template 參數，
我們有必須加上第三個 non-template type（型別已確定的）函式參數，
使函式多載化機制能夠有效運作。
設計考量是這樣的：如果能夠在 traits 內增加一個 iterator associated type，
使其得以獨一無二地辨識出不同的 Iterator concept，我們便可以利用這個
類似 ID 的東西做為 advanced() 的第三個函式參數。這個類似 ID 的東西
絕不能只是個常數 ID，因為編譯器要仰賴其型別來決定執行哪一個多載化函式。
那麼，最佳（也是唯一）的選擇就是把它們設計為 classes（至於為什麼用到繼承，
稍後再解釋）：
// 五個 tag types
struct input_iterator_tag { };
struct output_iterator_tag { };
struct forward_iterator_tag : public input_iterator_tag { };
struct bidirectional_iterator_tag : public forward_iterator_tag { };
struct random_access_iterator_tag : public bidirectional_iterator_tag { };
然後將 advance() 重新設計如下：
template <class InputIterator, class Distance>
void advance(InputIterator& i, Distance n, input_iterator_tag)
{
for ( ; n > 0; --n, ++i ); // 單向，逐一前進
}
// 一個單純的轉呼叫函式（trivial forwarding function）
template <class ForwardIterator, class Distance>
void advance(ForwardIterator& i, Distance n, forward_iterator_tag)
{
advance(i, n, input_iterator_tag()); // 單純地轉呼叫（forwarding）
}
template <class BidiectionalIterator, class Distance>
void advance(BidiectionalIterator& i, Distance n, bidirectional_iterator_tag)
{
if (n >= 0) // 雙向，逐一前進
for ( ; n > 0; --n, ++i ) { }
else
for ( ; n < 0; ++n, --i ) { }
}
template <class RandomAccessIterator, class Distance>
void advance(RandomAccessIterator& i, Distance n, random_access_iterator_tag)
{
i += n; // 雙向，跳躍前進
}
注意上述語法，每個 advance() 的最後一個函式參數都只宣告其型別，沒有
指定參數名稱 -- 因為函式中根本不會用到該參數。
最後我們還需寫一個上層函式，呼叫上述的多載化 advance()。此一上層函式
只需兩個參數，函式內自行加上第三個引數（五個 tag types 之一）後，
呼叫上述的 advance()。因此，上層函式必須有能力從它所獲得的 iterator 中
推導（取出）其 tag type：
template <class Iterator, class Distance>
inline void advance(Iterator& i, Distance n)
{
advance(i, n, iterator_traits<Iterator>::iterator_category());
}
注意上述語法。iterator_traits<Iterator>::iterator_category() 產生
一個暫時性物件，那當然會是前述五個 tag types 之一。根據這個暫時物件
的確實型別，編譯器決定呼叫哪一個多載化的 advance() 函式。為了滿足
上述行為，我們的 traits 必須再增加一個 associated type：
template <class Iterator>
struct iterator_traits {
typedef typename Iterator::iterator_category iterator_category;
typedef typename Iterator::value_type value_type;
typedef typename Iterator::difference_type difference_type;
typedef typename Iterator::pointer pointer;
typedef typename Iterator::reference reference;
};
// partial specialization for regular pointers
template <class T>
struct iterator_traits<T*> {
typedef random_access_iterator_tag iterator_category;
typedef T value_type;
typedef ptrdiff_t difference_type;
typedef T* pointer;
typedef T& reference;
};
// partial specialization for regular const pointers
template <class T>
struct
typedef random_access_iterator_tag iterator_category;
typedef T value_type;
typedef ptrdiff_t difference_type;
typedef const T* pointer;
typedef const T& reference;
};
所謂 iterator category，是指與「該 iterator 隸屬之 concepts 中，最明確者」
所對應之 tag type。例如 int* 既是 Random Access Iterator 又是
Bidirectional Iterator, 同時也是 Forward Iterator, 也是 Input Iterator，
但其 category 是 random_access_iterator_tag。這便是為什麼上述 traits
針對指標所做的 partial specialization 中要使用 random_access_iterator_tag
之故。
以 class 來定義 tag types，不唯可以促成多載化機制的運作，它帶來的
另一個好處是，透過繼承，我們可以去除純粹的轉呼叫函式
（trivial forwarding function，前述的 advance() ForwardIterator 版）。
是的，請考慮下面這樣的物件導向設計。至於它和 tag types 的關係，
就留給你好好思索。
// 模擬測試 tag types 繼承關係所帶來的影響。
#include <iostream>
using namespace std;
struct B { };
struct D1 : public B { };
struct D2 : public D1 { };
template <class I>
func(I& p, B)
{ cout << "B version" << endl; }
template <class I>
func(I& p, D2)
{ cout << "D2 version" << endl; }
int main()
{
int* p;
func(p, B()); // exact match. output: "B version"
func(p, D1()); // output: "B version"
func(p, D2()); // exact match. output: "D2 version"
}
●一個完整的範例
以下程式把上述的 iterator_traits 整合起來，並加入幾個足以示範如何運用
各種 iterator associated types 的 algorithms。注意，這個技術正是
STL 所使用的技術，所以程式內千萬不能打開 namespace std，否則會和
STL 內的 traits 相衝突。你可以在 C++Builder4 和 GNU C++ 所附的
STL 原始碼中，看到大同小異的寫法。VC6 目前尚未支援 partial specialization，
所以其所附之 STL 對此的作法稍有不同。
ref \austern\prog\??.cpp
●STL container 所提供的 iterators
STL iterators 分為五大類。每一個 STL containers 都定義有一個
iterator 型別和一個 const_iterator 型別。以下是其宣告型式示範：
vector<int>::iterator viter;
vector<int>::const_iterator cviter;
list<int>::iterator liter;
list<int>::const_iterator cliter;
deque<int>::iterator diter;
deque<int>::const_iterator cditer;
map<string, int>::iterator miter;
map<string, int>::const_iterator cmiter;
set<int>::iterator siter;
set<int>::const_iterator csiter;
這些 iterators 隸屬哪一種 iterator concepts 呢？[Austern99] 和 [Josuttis99]
有明確的說明。當我們要使用某個 algorithms 時（所有 STL algorithms 的最前面
兩個參數都是 iterators，標記出一個範圍），只需切記，你的 container iterators
的層級必須「優於」algorithms 所需層級。例如 remove() 需要 ForwardIterator，
而 vector 和 deque 提供的是 RandomAccessIterator，
list 提供的是 BidirectionalIterator，
set 和 map 提供的 iterators 是 ForwardIterator，
所以它們都可以和 remove() 搭配。
●分析 STL istream_iterator 並訂製一個 line_iterator
STL 提供有所謂的 stream iterator：istream_iterator 用於輸入，
ostream_iterator 用於輸出。讓我們好好分析 istream_iterator 的實作技巧，
以便為自己訂製 iterator 鋪路。
以下是 SGI STL 的 istream_iterator 實作內容：
see stl-2-3.cpp.
我們要訂製一個 iterator 時，istream_iterator 的作法可以提供一個
有效的參考。假設現在我要設計一個 myistream_line_iterator，
它讀取資料的方式不像 istream_iterator 那般以 token（語彙單元）為單位，
而是以一行文字為單位。也因此，它的 value type 固定為 string，
而不再是個 template 參數。下面是 myistream_line_iterator 的實作碼
與測試範例：
see stl-2-4.cpp.
這一期我們歷經了份量很重的技術洗禮。徹底瞭解了所謂的 traits 技術。
這項技術無所不在地存在於 STL 的各個角落。下一期我們可以喘口氣，
看看 containers 的應用 -- 那將是很令人愉快的程式經驗。
●參考資料：
1. [Austern99] "Generic Programming and the STL" by Matthew H. Austern, AW, 1999
2. [Josuttis99] "The C++ Standard Library" by Nicolai M. Josuttis, AW, 1999
3. [Hughes99] "Mastering the Standard C++ Classes", Cameron Hughes and Tracey
Hughes, Wiley, 1999
4. [Musser96] "STL Tutorial and Reference Guide" by David R. Musser, AW, 1996
●作者簡介：
侯捷，自由作家，專長 Windows 作業系統、SDK/MFC 程式設計、C/C++ 語言、
物件導向程式設計、泛型程式設計。目前在元智大學開授泛型程式設計課程，
並進行新書《泛型程式設計》之寫作。
--- the end
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