→ saltlake:拜讀中 希望能生出對一般讀者比較友善的正咩文 :p 07/13 09:39
※ 引述《saltlake (SaltLake)》之銘言：
: 本來正在查書打算整理關於人口發展的簡單的數學模式 現在看看省起來好了
: 人口發展跟經濟發展有一定的關聯 因此在推論某國或某區域或全球經濟發展
: 狀況的時候 如果有人說可以完全不管人口隨時間的動態變化的影響 那我只能
幫你找了一個還湊合的中文材料﹐下載地址是﹕
http://www.cdpc.edu.cn/jpkc/gaodengshuxue/wszy/zhuxuekejian/1/jm2.doc
原文檔裡有公式﹐我把公式和解省略掉的論述部分整理一下貼在下面﹐
要仔細了解﹐還是要公式﹐看下面隻可以有一個人口模型的入門概念
常微分方程在數學建模中的應用
以下介紹幾個典型的用微分方程建立數學模型的例子.
一、人口預測模型
由於資源的有限性,當今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長,為了得到人
口預測模型,必須首先搞清影響人口增長的因素,而影響人口增長的因素很多,如人口
的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災害、戰爭等諸多因素,如果
一開始就把所有因素都考慮進去﹐則無從下手.因此,先把問題簡化,建立比較粗糙的
模型,再逐步修改,得到較完善的模型.
例1（ 馬爾薩斯 （Malthus） 模型） 英國人口統計學家馬爾薩斯（1766-1834
）在擔任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統計資料,發現人口出生率是一個常
數,於1789年在《人口原理》一書中提出了聞名於世的馬爾薩斯人口模型,他的基本假
設是﹕在人口自然增長過程中,凈相對增長（出生率與死亡率之差）是常數,即單位時
間內人口的增長量與人口成正比,比例系數設為a ,在此假設下,推導並求解人口隨時間
變化的數學模型.
（解法略 ）
馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為 （公式略）
,
此式表明人口以指數規律隨時間無限增長.
模型檢驗﹕據估計1961年地球上的人口總數為3.06*10^9 ,而在以後7年中,
人口總數以每年2%的速度增長, (計算略)
這個公式非常準確地反映了在1700-1961年間世界人口總數.因為,這期間地球上的人
口大約每35年翻一番,而上式斷定34.6年增加一倍（請讀者証明這一點）﹒
但是,後來人們以美國人口為例,用馬爾薩斯模型計算結果與人口資料比較,卻發現有
很大的差異,尤其是在用此模型預測較遙遠的未來地球人口總數時,發現更令人不可思
議的問題,如按此模型計算,到2670年,地球上將有36 000億人口.如果地球表面全是陸
地（事實上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也隻得互相踩著肩膀站成兩層了,這是
非常荒謬的,因此,這一模型應該修改.
例2（邏輯Logistic模型）─（np:這是一個非線性模型﹐參數合適情況會有混沌解）
馬爾薩斯模型為什麼不能預測未來的人口呢﹖這主要是地
球上的各種資源隻能供一定數量的人生活,隨著人口的增加,自然資源環境條件等因素
對人口增長的限制作用越來越顯著,如果當人口較少時,人口的自然增長率可以看作常
數的話,那麼當人口增加到一定數量以後,這個增長率就要隨人口的增加而減小.因此
,應對馬爾薩斯模型中關於凈增長率為常數的假設進行修改.
（np﹕下面的Noo 裡的oo 代表無窮大符號﹐鍵盤打不出來﹐用oo代替）
1838年,荷蘭生物數學家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數Noo ,用來表示自然環境條件
所能容許的最大人口數（一般說來,一個國家工業化程度越高,它的生活空間就越大,食
物就越多,從而Noo就越大）,並假設將增長率等於r(1-N(t)/Noo) ,即凈增長率隨著N(t)
的增加而減小,當N(t)→Noo 時,凈增長率趨於零,按此假定可以建立人口預測模型.
N
dN/dt = r (1- --)N
No
解法略 分析略
在人口總數達到極限值一半以前是加速生長期,過這一點後,生長的速率逐漸變小,並
且遲早會達到零,這是減速生長期﹔
（4）用該模型檢驗美國從1790年到1950年的人口,發現模型計算的結果與實際人口在
1930年以前都非常吻合,自從1930年以後,誤差癒來癒大,一個明顯的原因是在20世紀
60年代美國的實際人口數已經突破了20世紀初所設的極限人口.由此可見該模型的缺
點之一是 不易確定Noo,事實上,隨著一個國家經濟的騰飛,它所擁有的食物就越豐富,
Noo的值也就越大﹔
(5）用邏輯模型來預測世界未來人口總數.某生物學家估計, ,又當人口總數為 時,人
口每年以2%的速率增長,由邏輯模型得
（計算過程略）
即世界人口總數極限值近100億.
值得說明的是﹕人也是一種生物,因此,上面關於人口模型的討論,原則上也可以用於在
自然環境下單一物種生存著的其他生物,如森林中的樹木、池塘中的魚等,邏輯模型有著
廣泛的應用.
(np﹕我之前5327裡寫過的公式其實就是Logistic方程的一個變形﹐這個方程一般也會
叫蟲口方程﹐邏輯斯蒂方程等等）
(現在把數學公式基本刪光之後﹐我個人看起來更糊塗了。)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 221.222.168.23
※ 編輯: npchen 來自: 221.222.168.23 (07/13 07:36)
※ 編輯: npchen 來自: 221.222.168.23 (07/13 07:37)
※ 編輯: npchen 來自: 221.222.168.23 (07/13 07:41)
※ 編輯: npchen 來自: 221.222.168.23 (07/13 07:42)
※ 編輯: npchen 來自: 221.222.168.23 (07/13 07:43)
※ 編輯: npchen 來自: 221.222.168.23 (07/13 08:43)