[心得] 經濟數學 Hoy et al. 第四章讀後感

[washburn (Back to school.)]

    Hoy et al. 2nd ed. (2001) 4.3 提到 intermediate value theorem
(ivt) 時, 在 p.144~148 特別提到 ivt 保證了許多經濟模型的均衡存在.
我個人讀到 ivt 也不是第一次了, 但從來沒有想過 ivt 保證了均衡成立,
讀到此處, 真是令人拍案叫絕, 頗有茅塞頓開之感.

    有一個我個人認為可以供各位板友思考之處: Hoy et al. (2001) 在
p.117 的 def. 4.3 和 4.4 定義 continuity, 茲抄錄 def. 4.4 如下:

            A function f(x), which is defined on an open
        interval including the point x = a, is continuous
        at that point if there is some delta > 0 such
        that | f(x) - f(a) | < epsilon, whenever
        | x - a | < delta for any epsilon > 0.

    其中 "which is defined on an open interval including the point
x = a" 看似多餘, 但若拿掉這個前提 (例如, Rudin (1976) 的 p.85 並未
要求 f(x) 定義在 open interval), 那麼 f(x) 可以定義在一個包括數個
isolated points 的集合之上, 而不違背 continuity 的性質 (Rudin 的
p.86 有較詳細的說明).

    若不要求 f 的 domain 為 open interval, ivt 的前提: f(x) is a
continuous function on the closed interval [a, b] and f(a) ~= f(b)
就顯得更為重要. 因為一個定義在許多 isolated points 上的函數可以既
是連續的, 又使得 ivt 不成立.

    草草翻閱 Hoy et al., 由於自己讀書不求甚解, 思索許久而無所得,
重新細讀才發現自己浪費了不少時間在想一個定義不清的問題. 就放在板
上供板友們參考吧!

--
http://tonyy271828.spaces.live.com/

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 118.231.135.178
→ yhliu:"連續" 的定義不必限制在區間; 但 IVT 的條
→ yhliu:件中指明是在區間考慮. 一般初微教本只考慮
→ yhliu:在區間上定義的函數, 有時又允許在區間上少
→ yhliu:數點可以無定義; 但高微考慮較一般的情況.
→ washburn:多謝!
→ davidlhs:可以敲碗要第三章心得嗎? XD
→ yivtfa:對啊^^~~ch3!!!  感謝分享^^
→ washburn:呃, Ch.3 沒什麼心得 XD
推 Jaies:那Ch.3有沒有什麼是需要注意跟熟讀的呀??