Re: [請益] 關於齊次函數

[davidlhs (小信)]

如果你有MGW那本, 也是可以啦, p. 928

(1)
定義: 一函數 f(X1, X2, ..., Xn) 在給定 t>0, 若具以下性質, 則稱f(．)為r階齊次

                            r
   f(tX1, tX2, ..., tXn) = t f(X1, X2, ..., Xn)

(這很像... 有一Δ其兩邊等長, 則此為等腰Δ, 但應該很少要你證明等腰Δ兩邊等長吧)


(2)
若f(．)為一r次齊次函數, 則對任意i=1~n, 有以下性質:

f(．)的偏導函數為一(r-1)階齊次函數, 證明如下:

根據齊次的定義, 所以

                            r
   f(tX1, tX2, ..., tXn) = t f(X1, X2, ..., Xn)

將整式對Xi微分, 則:

      a f(tX1, tX2, ..., tXn)    r a f(．)
   t ──────────── = t ────  兩邊同除t
              a Xi                  a Xi

   由齊次函數的 "定義" 得證, 偏導函數, 為一 (r-1) 階齊次函數


(3)
尤拉方程式: 若f(．)為一可微之r階齊次函數, 則對任一(X1, X2, ..., Xn)

  將齊次函數的 "定義" 對t微分, 則有以下結果:

  n   a f(tX1, tX2, ..., tXn)        r-1
 Σ  ──────────── Xi = rt   f(X1, X2, ..., Xn)
 i=1           a Xi

 令t=1, 則

  n  a f(X1, X2, ..., Xn)
 Σ  ────────── Xi = r f(X1, X2, ..., Xn)
 i=1         a Xi



還是建議你翻一下書 :)

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推 OKToday:感謝<(_ _)>
推 toysrus:挑個小骨頭 為何一下階一下次啊?
→ davidlhs:I'm sorry for inconsistent! XD
推 toysrus:樓上大大認真了 我是開玩笑的 XDDDD
→ davidlhs:我也沒有認真呀 XD ← 這就是證據 XD
推 washburn:推一個.