作者washburn (Back to school.)
看板Economics
標題Re: [請益] GLS Efficiency
時間Tue Oct 26 10:49:05 2010
Let Omega^{-1} = P'P, in which P is invertible.
Let Z = P'^{-1} X.
var(beta_GLS)^{-1} - var(beta_OLS)^{-1}
= X' Omega^{-1} X - X'X (X' Omega X)^{-1} X'X
= X' P' [I - P'^{-1} X (X' P^{-1} P'^{-1} X)^{-1} X' P^{-1}] P X
= X' P' [I - Z (Z'Z)^{-1} Z'] P X, which is positive semidefinite.
Q.E.D.
※ 引述《navarra (Maestoso)》之銘言:
: 在線性迴歸模型 y=Xβ+u 中,若 E(u|X)=0,X 也 full rank,
: 且 Var(u|X)=Ω (heteroskedasticity),
: 則此時 Var(β_hat_OLS)=inv(X'X)*(X'ΩX)*inv(X'X),
: 而 Var(β_hat_GLS)=inv(X'inv(Ω)X)
: (此處的 ' 表示矩陣轉置,inv 表示反矩陣)
: 為證明此種情況下,GLS 估計式比 OLS 估計式更具效率,
: 我必須證明 Var(β_hat_OLS)>=Var(β_hat_GLS),
: 也就是上述兩個矩陣相減至少是一個 positive semidefinite matrix
: 現在的問題是:OLS 的部分有一個 (X'ΩX),GLS 的部分則是 inv(X'inv(Ω)X)
: 我似乎無法找到兩者結構的共通處以進一步化簡,因為 X 不是 square matrix
: 試了很久也無法將兩者相減的矩陣寫出一個類似 a'Ma>=0 的型式
: 不知道是否有高手可以提示一下其中的 trick?謝謝
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無異曲線在無異個什麼鬼
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◆ From: 165.91.15.55
※ 編輯: washburn 來自: 165.91.15.55 (10/26 10:50)
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推 goodcar:我也推 讓我懷念起唸Greene的碩一歲月...XD 10/26 19:49
→ washburn:我不太確定需不需要 transpose, 不過想法是這樣. 10/26 23:49