Re: [請益] cournot均衡下的Lerner指數

[akai0928 (so what)]

※ 引述《tteerryy (terry)》之銘言：
: 設一產品市場有五家廠商，其所面對的需求價格彈性固定在-5
: 若每家廠商邊際成本為50，請求出COURNOT均衡下的LERNER指數

: 我先假設這個市場需求是單純的P=a-bQ

一般而言，題目給定「需求價格彈性固定在-5」

那就不會將需求函數設定為直線方程式

因為由直線方程式導出的需求彈性並非常數
【愈接近縱軸，彈性愈大；直線的中心，彈性為1】

若給定需求彈性為-b
                    A
常見的設定是：Q = -----，A、b為常數
                   P^b

其中，lnQ = lnA - blnP，故：需求彈性為-b


: 雖然題目沒提到但是我想不透若非如此的話怎求解

所謂Cournot均衡，也是一種Nash均衡

表示每一家廠商在既定的條件下，都作了最適選擇

其實，也就是每家廠商都max profit，都以MR=MC作決策

故，由(1) MR=P(1-1/E) = MC，(2) L =（P-MC）/MC

可導出：L = 1/E = 1/5(獨占如此，寡占亦然!?)

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為避免微分的過程
【若令需求函數為：Q=1/P^5，首先逆需求函數就會很醜】
【當然，你也可以令為：P=1/Q^(1/5)；也沒有比較好算】

因此以下用一般式來處理
【其實，即使需求函數為直線方程式，超過3家廠商時
   Cramer's rule不好算，也會建議用一般式】

max profit_i = TRi - TCi
             = P(Q)*qi - TCi

f.o.c. (dP/dQ)(dQ/dqi)qi + P = MCi
       (dP/dQ)(Q/P)(qi/Q)P = MCi - P
       (-1/E)Si = (P - MCi)/P = L

由於成本結構相同，故Si=1/5

L = 1/25


上述過程中

由於題目給的需求彈性有「負號」

因此，E = (dQ/dP)(P/Q)

對獨占廠商來說，Si=1

故：L = -1/E = 1/5


: 若有辦法請各位指教
: 再來就是將Q拆成O1到Q5
: P=a-bQ1-bQ2-bQ3-bQ4-bQ5
: MR1=a-2bQ1-bQ2-bQ3-bQ4-bQ5=50
: 得出五組類似方程式後做處理消掉Q2~Q4
: 得出Q1=(a-50)/6b=Q2=Q3=Q4=Q5=q=Q/5

: 由於-5=(dQ/dP)*(P/Q)，將Q改成Q1以後
: 微分方面相同，而5*P/Q=P/Q1
: 所以(dQ1/P)*(P/Q1)=-25

先不管直線方程式的問題，以及為什麼可以將Q直接改成Q1代入

不妨用個別廠商之需求彈性與市場需求彈性的公式套一下

上面這個值合不合理?


: 以反彈性定價(這似乎只能在需求函數為一次函數時才能使用?所以我才一開始如此假設)

如果你所謂的反彈性訂價是指：P(1-1/E) = MCi

那麼，這是一般式，不論函數型式為何，都可以通用的

需求函數：P=P(Q)，TR=P(Q)*Q，MR = dTR/dQ = P(1-1/E)

只不過，完競廠商面對水平需求線，E為無窮大，1/E=0，故P = MR

而非完競廠商，面對負斜率需求線，E不為零

: 得出lerner指數為1/25
: 因為第一次算這種題目
: 有些地方不太確定
: 想請各位看下是否哪邊有問題

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 無心真正追尋過的擁有 便無須矯情怨失去

  若是無悔追尋過 烙在心頭上 又怎能失的去

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.36.17.98
推 tteerryy:不好意思 我不太懂foc中第二行怎麼化為第三行

f.o.c. (dP/dQ)(dQ/dqi)qi + P = MCi  .....(a)

接來下，我要湊公式：

將(a)式等號左邊的第一項：(dP/dQ)(dQ/dqi)qi

先整理一下，因為 Q = SUM qi = q1 + q2 + ... + q5

            所以 dQ/dqi = 1

            故：(a)式等號左邊的第一項可以寫為： (dP/dQ)*qi

來湊公式了!

彈性公式，市場需求彈性：E =（dQ/dP）（P/Q）
【因為題目給定的彈性為負值，故上述公式不加負號!】

將(a)式等號左邊的第一項，乘上這個：(Q/P)(P/Q)

這兩項可以消掉，不影響(a)式等號左邊第一項的結構

其中，前面的(Q/P)跟(dP/dQ)湊成市場需求彈性的倒數：1/E

然後，後面的(P/Q)，先拿1/Q來湊市場份額：qi/Q = Si

      別忘了，分子還有個P，所以是：P*Si

      所以，(a)式等號左邊的第一項，原本是：(dP/dQ)*qi
                                   現在成了：(1/E)*Si*P

綜上，(a)式就可以寫成：(Si/E)P + P = MCi ....(b)


 接下來，要將(b)式湊出Lener index，L = (P-MC)/P

 將(b)式等號左邊第2個P移項：(Si/E)P = MCi - P

 再將等式兩邊同乘一個負號：(-Si/E)P = P - MCi

 最後把等號左邊的P除過去：-Si/E = (P-MCi)/P = L

 就可以得到原文中的f.o.c第三行：(-1/E)Si = (P - MCi)/P = L

→ tteerryy:以及不妨用個別廠商之需求彈性與市場需求彈性的公式套
→ tteerryy:這句話的意思
先回顧一下你的原文：所以(dQ1/P)*(P/Q1)=-25

我猜測，你定義：(dQ1/P)*(P/Q1) 這串東西為「個別廠商需求彈性」
【如果這串數學並非個別廠商需求彈性，請告訴我它代表的意義為何】

按你的邏輯，同理可推，第i家廠商的「個別需求彈性」都是-25

可是：E = sum (Si*ei) = S1e1 + S2e2 + ... + S5e5

上式中，E為市場需求彈性，Si為個別廠商的市場份額，ei為個別廠商的需求彈性

依前述推論，Si = 1/5

依你的計算，ei = -25

Si*ei = -5

所以，在你的ei下，市場需求彈性將是：E = sum(Si*ei) = 5*(-5) = -25

可是，題目給定 E = -5

明顯不合!

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※ 編輯: akai0928        來自: 114.24.87.17         (09/09 18:42)
→ tteerryy:所以結論是個別廠商的LERNER指數是1/25，而個別需求彈性
→ tteerryy:則等於-5? 這兩者是否矛盾、違反反彈性定價?
→ akai0928:矛盾的點是?
→ tteerryy:qi的需求彈性-5，lerner指數1/25，不是需求彈性倒數這點
→ akai0928:因為本題是寡占，不是獨占呀! 回文中不是有推導了嗎?
→ akai0928:獨占因為市場份額為1，所以L = 1/E
→ tteerryy:那麼為甚麼寡佔下廠商量不影響個別需求彈性呢