Re: [請益] 次方問題

[yupy1911 (Yupy)]

※ 引述《babyyama (.....)》之銘言：
: 請問大家
: 常看到如：效用函數 U(X,Y) = X^1/4+Y^3/4(舉例來說)
: 請問要怎麼算出有分數次方的算式?@@
: 以前是念社會學的  看到這個就很頭大
: 只知道平方 立方之類 但完全不懂分數次方的運算
: 是否有像平方那樣有表格可以依循？
: 謝謝^^

: 題目如右：設甲效用函數為 U(X,Y)=X^1/4 Y^3/4，所得為9000元，X與Y的單價均為10元
:          ，試問：
:
:          (1)某甲最適消費組合為何？

這題有三種解法：LAGRANGE法、MRSxy法 與 用眼睛看。


<1> 最正統的的方法就是用LAGRANGE法設預算限制式做效用極大，拉氏乘數法真的

　　只能多練習，算是基本功。列式如下：

　　　　　　　　　┌ Max:   U = X^(1/4)*Y^(3/4)
                  │
                  └ S.T.:  M = 9000 = 10X + 10Y

    剩下的按照正式作法一路往下做就會有答案了。　


<2> MRSxy法也是很常用的方法，其作法的中心思想在於使最後一單位所花費之金錢

　　，其所購買到的效用於不同商品上都是相同的。這種作法速度比較快，但是較

　　拉氏乘數法相比，較不正統。如今天申論題分數較多，還是乖乖Lagrange一次吧。

　　由於要使最後一單位金錢之邊際效用相同，我們可以如此想像：蘋果一顆10元，可

　　得到10單位的效用，而橘子一個5元，可得到5單位的效用，固兩者所花的一塊錢

　　所購買的效用都是相同的。列成式子就是(蘋果效用/橘子效用)=(P蘋果/P橘子)。

　　MRSxy法做法如下:

    X的邊際效用MUx = dU/dx = 0.25 * X^(-3/4) * Y^(3/4)

    Y的邊際效用MUy = dU/dy = 0.75 * X^(1/4) * Y^(-1/4)

    令 MUx/MUy = Px / Py    ===>  使每一單位購買的效用相同。

　　得 (1/3)*Y/X = 10/10 = 1  ===> 3X = Y

    可得知Y的購買數量是X的三倍。再將此比例回預算限制式，可得：

　　9000 = Px*X + Py*Y = 10*X + 10*3X ==> X = 225 , Y = 3X =675。


<3> 當你對效用函數熟悉到一定程度之後，有些東西根本不用算就有答案了。　

　　第三種作法就是用眼睛看答案。但這種作法只適合在填充題，因沒有任何算式直接
　　
　　列答案在申論題是不會有分的。

　　這題的關鍵在於函數型態為Cobb-Douglas型態，故購買商品的數量會呈一定比例。

　　由效用函數指數可得知花費在X財與Y財的預算比會是1:3，再除以各自的價錢就可以

　　得到答案了。速解當你多練習後，自然就會了，不用急著學，先把正統方法練熟再說

　　吧！



:          (2)若政府鼓勵某甲增加X的消費，某甲購買每一單位，政府都補助5元，
:             某甲最適消費組合為何？
　　
　　由題目可得知，由於政府補助，X的價格由10元變成5元了。即 Px = 5。

　　不論由Lagrange法與MRS法作法都與上題同。偷用眼睛看一下答案得知X = 450，

    Y = 675。

　　
:          (3)若政府提供某甲價值4000元的兌換券，該兌換券只能用來支付某甲對X的消
:             費，某甲之最適消費組合為何？

　　只能消費X可將此視為對消費者做"實物補貼"。補貼一般而言有三種：所得補貼，價

　　格補貼與實物補貼。價格補貼就如同第二題，價格直接便宜五元，而所得補貼就如

　　字面上的意思，直接給你一筆錢，讓你所得增加。而實物補貼就如同這題，讓你可以

　　免費得到一部分的商品。而實物補貼本身，又有分兩種情況，一種是可轉賣補貼商品

　　，另一種是不可轉賣。可轉賣的情況即可當作是所得補貼，而不可轉賣的情況就比較

　　特殊，由效用函數求出的最適解，可能會使消費者不多購買受補貼商品。但一切都還

　　是要視效用函數決定。此題解法如下：

　　由於獲得4000元兌換券，我們先假設所得增加4000元，即所得 = M* = 13000

    再由拉氏乘數法 or MRS法 or 眼睛觀察法可得知 X* = 325 ，　Y* = 975。
　
　　我們可以發現，在此所得補貼下，購買的X所花費的金錢甚至低於其補貼的金額。

　　因此需討論兩種不同的CASE。

　　Case1：若可轉賣商品，則在獲得兌換券並且兌換了400單位的X財貨之後，消費者

　　　　　會將其中75單位的X財賣掉，將獲得的金錢拿去購買Y財貨，最後會得解　

　　　　　X = 325 ，　Y = 975。　
　
　　Case2：若不可轉賣商品，則此消費者在兌換400單位X財貨之後，不會再另外購買

　　　　　X財，此時剩下的9000單位所得，會全部購買900單位的Y財，此時會得解

　　　　　X = 400　，　Y = 900。
　　　　　　　　　　　　　　　　＃



經濟的東西，比較困難的是一開始要熟悉他的"語言"，等到習慣了以後，再繼續就有如

神助了。

效用函數這邊算是基本功，多練習就可以算的很快。Lagrange法一定要很熟悉，算是

在考場上求極值一定會用到的方法。

一定要多算，等到很熟了以後，很多題目都可以用眼睛看了。

加油!!

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◆ From: 123.192.102.169
推 pseudomorph:推用眼睛看!
推 coolbetter33:推
推 babyyama:謝謝大大詳細解說!!!  看來我還有好大段距離要努力@@
推 arnys:你最近真的很認真解題 XDD
推 privateeyes:我推薦拉格蘭芝法 其實所有的題目都用微積分的方法解
→ privateeyes:是最合適的 也不用記些奇怪的東西 搞不好還記錯
→ privateeyes:MRS法 和C-D特殊的特殊解法 也都是拉格蘭之法過程中
→ privateeyes:必然得出的結果  另外 謝謝示範第三題要怎麼寫
推 john011414:推推^^"
推 raiderho:我會用算幾不等式:P
→ DIDIMIN:MRS法，只有在效用函數具有良好性質才可使用
→ DIDIMIN:如果不具有良好性質，則出現角解而非內部解
→ goshfju:其實我覺得申論題 Max: U = ... s.t. M=... 是必寫的
→ goshfju:接下來才是判斷該如何解~ 就Lagrange來說 要滿足所謂的
→ goshfju:二階條件 但剛好會是MRS遞減
推 privateeyes:我後來想明白了 10X+10Y=13000 ,Y>=900
→ privateeyes:預算線會是個折線 Y=975>900  所以Y買900個
→ privateeyes:                             更正 Y小於等於900
→ privateeyes:剩的預算4000再全部買X (剛好是全部兌換)
→ privateeyes:Y小於等於900 這句話 第三題一定要寫到
→ privateeyes:不管你是用1.數學 2.圖形 3.直覺敘述 去解題