Re: [請益] (1)凸、凹函數判斷 (2)Kuhn-Tucker Theor

[moondark92 (明星黯月)]

※ 引述《alwelcome (大太陽)》之銘言：
: (1)凸凹函數判斷
:
: E(p,u)=min{px│U(x)>=u}
:         x

: 推 moondark92:第一題的函數叫Expenditure function, 要問啥凹凸?      12/02 22:55
: 推 moondark92:http://tinyurl.com/cwj8bcv 說是concave XDD           12/02 23:02

E(p,u)的意思是給定U(x)後,限定U(x)=u以求最小p.x (x和p皆為向量)
就是限定效用求最低成本

假定在效用u之下,
價格Pa(Pa1,Pa2,...,Pan) 時得到最低成本E(Pa,u)=C1 此時產品組合Xa(Xa1....Xan)
價格Pb(Pb1,Pb2,...,Pbn) 時得到最低成本E(Pb,u)=C2 此時產品組合Xb(Xb1....Xbn)
現在想知道價格 Pd=λPa+(1-λ)Pb 時最低成本E(Pd,u)=Cd與λC1+(1-λ)C2何者為大
決定是convex或者concave,如Cd較大則凸向原點,較小則凹向原點

假定價格Pd時得到最低成本E(Pd,u)=Cd 此時產品組合Xd(Xd1....Xdn)
由定義可知U(Xa)=U(Xb)=U(Xd)=u
那在價格Pa下購買Xd組合的花費: PaXd肯定>=PaXa(因為Xa是Pa價格下最低價)
  在價格Pb下購買Xd組合的花費: PbXd肯定>=PbXb(因為Xb是Pb價格下最低價)
則
λC1+(1-λ)C2=λPaXa+(1-λ)PbXb <= λ(PaXd)+ (1-λ)(PbXd)
= (λPa + (1-λ)Pb) Xd = PdXd = Cd
結果是Cd較大,凸向原點?

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※ 編輯: moondark92      來自: 123.192.254.72       (12/02 23:56)
推 alwelcome:按照剛PDF的定義加上你中文解說，我大致上了解許多，不
→ alwelcome:  所以Cd較大符合它定義所要推導那行，故concave
→ alwelcome:意思的關係，也就是沒有實際的物理含意。