[請益] 二階條件的計算（AVC,SAC,MR與ＭＣ）

[besonin (是兒內)]

我想問“過最低點的二階數學計算”, 好多參考書都只列出一階證明


Q1.用數學試證,短期的邊際成本（ＳＭＣ）會通過短期平均成本（ＳＡＣ）最低點。

數理證明是把ＳＡＣ做一階微分使它＝0 求得極值。

得到：

  f.o.c:  ∂AC/∂Q=∂(TC/Q)/∂Q={(∂TC/∂Q)xQ-TCx1 }/Q^2（默念前微後不微減...）

        =(MCxQ-TC)/Q^2=(MC-AC)/Q   (整理)

       此時若f.o.c＝0  ＡＣ出現極值條件下 , ＭＣ會等於AC

此時再用二階微分>0求得此點是ＡＣ線極小值

  s.o.c:{ ∂(MC-AC)/Q}/∂Q={∂(MC/Q)}/∂Q-{∂AC/Q}/∂Q（拆開來再微分）

      ={(∂MC/∂Q)xQ-MCx1}/Q^2- {(∂AC/∂Q)xQ-ACx1}/Q^2（再念一次前微後不微..)

      ={{(∂MC/∂Q)-(∂AC/∂Q)}xQ-MC+AC}/Q^2 (再整理)

      又MC=AC故得到

      ={(∂MC/∂Q)-(∂AC/∂Q)}/Q

問題來了！！

要怎麼用”數學“證明MC的斜率大於AC斜率？


Q2.ＳＭＣ過ＡＶＣ最低點數學證明,方法同上

  一樣做f.o.c＝0 再做 s.o.c>0

  (AVC=TVC/Q)

   f.o.c=∂(TVC/Q)/∂Q=∂{(TC-FC)/Q}/∂Q=∂(TC/Q)/∂Q-∂(FC/Q)/∂Q

        ={(∂TC/∂Q)xQ-TC}/Q^2+FC/Q^2=(MC-AC)/Q+AFC/Q

        =(MC-AC+AFC)/Q=(MC-AVC)/Q

 在一階微分＝0 下有極值 ,此時 MC=AVC


   s.o.c=∂(MC/Q)/∂Q-∂(AVC/Q)/∂Q

        ={(∂MC/∂Q)xQ-MCx1-(∂AVC/∂Q)xQ+AVCx1}/Q^2

   又因為MC=AVC得到

    {(∂MC/∂Q)-(∂AVC/∂Q)}/Q

  我寫到這裡也不知道要怎麼用數學證明MC斜率大於AC,雖然用圖看就是這樣..


Q3.廠商的利潤最大產量會在MR=MC，試用數學證明

也是用foc=0, soc<0求極大值:

                  利潤＝TR-TC

 求極值：f.o.c=  ∂TR/∂Q-∂TC/∂Q = MR-MC 此時有利潤極大（或極小）

         s.o.c=∂MR/∂Q-∂MC/∂Q 這邊我就不知道怎麼下去了...



請高手求解,如果有觀念錯誤或計算錯誤也請不吝指教 ～謝謝！！




















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人生下來本來就沒有期待，因為在一出生時就被剪掉了。

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推 virgins:Q3求極值 soc<0在數學中就是極大值的條件：函數凹向下
推 bearching:找看看Mascolell的個體經濟裡面有沒有~!
推 SamuelHuang: Q1的一階條件就是dAC/dQ=0啊所以剩dMC/dQ的正負判斷
→ SamuelHuang: dMC/dQ就是STC的二階微分所以只要STC本身有最小值
→ SamuelHuang: 就一定會被MC通過，事實上如果STC是開口向下的拋物線
→ SamuelHuang: MC也會通過其最高點