Re: [問題] 快速積分技巧

[smartlwj (下次再努力)]

※ 引述《down200n (down200n)》之銘言：
: 真是很刺眼的鑰匙..
: 不說廢話=  = http://www.wretch.cc/blog/attoyao/24729252
: ∞
: ∫ x*e^(-ax)*sin(bx) dx , a>0
: 0
: 看到題目 我只想一直做part..  有請大大說明圖上的方法~~~~~

本來想用推文的，可是會囉哩囉嗦，所以就回文順便賺p幣

=================騙P幣分隔線================================

這題當然是用 integral by parts(簡寫為IBP) 就ok
目前我也沒有去想有沒有其它方法

首先一開始出現的圖就是所謂的IBP

IBP：  ∫udv = uv -∫vdu

  ∞   -ax                      -ax
 ∫ x e    sin(bx) dx = ∫x d (e    / a^2+b^2)[-asinbx-bcosbx]
  0

也就是 令 u = x, dv = e^(-ax)sin(bx)dx

       則 du = dx, v = 那一串

所以動作就是圖上所畫的     D(表示微分 u)      I(表示積分 dv)

                 第一步       x  (u)          e^(-ax)sin(bx)  ( dv)

                 第二步       1  (du)         那一串          (∫dv)

至於為什麼圖上所畫的地方有正負號??
原因是因為IPB告訴你  uv- ∫vdu
因此第一步的地方是正，而第二步的地方是負
以此類推，如果這個函數無法用一次IBP算出來
要做很多次的話，就要正負正負的一直算。

==========================騙P幣用的==================================

例:   ∫lnxdx

(法一:正規解法)

                ∫lnxdx = ∫(lnx) dx

                        = xlnx -  ∫x dlnx

                        = xlnx -  ∫x* (1/x)dx

                        = xlnx -  ∫dx

                        = xlnx - x + C (常數)

(法二:課本解法)

                let u = lnx ,  dv = dx

               then du = (1/x)dx , v = x

               hence by IBP  ∫udv = uv - ∫vdu

               =>  ∫lnxdx = xlnx - ∫x*(1/x)dx = xlnx - x + C

(法三:速解法)

               D             I
            + lnx            1
                     ↘
            - 1/x    →      x

            =>  + xlnx - ∫1dx = xlnx - x +C

以上三種是不是都一樣呢!!??
其實速解法只不過就是法IBP先分解好而已...但有時後還是很好用
請看以下例子

例二      3
       ∫x  sinx dx

                       D                 I
                 +    x^3               sinx
                               ↘
                 -    3x^2             -cosx
                               ↘
                 +    6x               -sinx
                               ↘
                 -    6        →        cosx

              3         2
        =>  -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - ∫6cosx dx

               3         2
           = -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C  (C為常數)

以正規法解一次
          3             3
       ∫x  sinxdx = ∫x  d(-cosx)

                       3                3      3           2
                   = -x cosx + ∫cosxd(x ) = -x cosx + ∫3x cosxdx

                       3           2
                   = -x cosx + ∫3x d(sinx)

                       3         2
                   = -x cosx + 3x sinx - ∫6xsinx dx (換∫6xd(-cosx))

                       3         2
                   = -x cosx + 3x sinx - (-6xcosx + ∫6cosxdx)

                       3         2
                   = -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C

得到一樣的結果!!
============================騙騙騙騙騙================================

最後，你可能會想問要怎麼知道對誰微或對誰積分呢??
這個問題我沒辦法很精確的回答你，但可以簡單的說
就是微分的對象是要越微越簡單的會比較好算!!
也就是大概要挑微分後可能會變常數的函數。

以上就是有關分部積分的簡單說明...

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◆ From: 112.104.130.20
推 samhou6:屋窩
推 s0t7810528: 雖然過了快6年，不過我還是訂正一下，他後面應該有錯
推 s0t7810528: ，後面應為-6sinX,技巧後面有點錯誤，不知道作者會不
推 s0t7810528: 會看到xD
推 s0t7810528: 給透過估狗找技巧的人（幹 就是我 我卡了好久
感謝提醒 順便幫卡很久QQ
→ smartlwj: sorry~打太快 是負號沒錯 XD~~~過了6年才發現
※ 編輯: smartlwj (140.109.16.165), 06/12/2017 23:46:04