[程式] Solving Two-Bone IK in 2D

[Alimen (狂人)]

(接在cjcat、chenglap、NDark 幾位強者後面貼文，壓力好大 >"<)



小弟不才，上週在小遊戲板發了一篇自製的HTML5益智小遊戲：
       「NP Lab之著色問題」 #1HWDDAEN (Little-Games)
在程式撰寫的時候恰巧有碰到IK控制這一塊，
寫了一篇文章做記錄，跟大家分享，請大家隨意看看～



網誌好讀版：http://alimencave.blogspot.tw/2013/05/blog-post.html
(因為有圖片解說及方程式的關係，推薦切到網頁去看)




二維二骨骼反向動力學解算


　　在NP Lab: Coloring Problem遊戲裡，有兩隻會追蹤玩家滑鼠游標的機械臂。無獨
有偶，這兩隻機械臂正好一個是由FK (Forward Kinematics, 正向動力學)控制，而另一
個是IK (Inversed Kinematics, 反向動力學)控制。


　　正向動力學相對來說簡單很多：由父層級的關節帶動子關節；拿人體來比喻的話就是
我先決定上臂的位置(肩關節的角度)，再決定下臂的位置(肘關節的角度)。在遊戲裡，所
有的滑鼠位置都可以計算出一個特定的角度值，將上臂移到此位置後，再將下臂直直指向
滑鼠，就完成了追蹤。


　　反向動力學則剛好相反：由子層級的關節帶動父關節；對於人體來說比較像是伸手去
拿茶杯，先知道手要往哪擺，再去想下臂、上臂在哪。而這時候，問題就來了：我們要如
何一次求出兩個關節的角度呢？


　　接下來這篇文章會帶入Two-Bone IK解算的數學定義、簡述一般通用的算法，並介紹
我在NP Lab: Coloring Problem中所用的簡化算法。



一、問題定義


　　給定一個骨骼Bone1與Bone2構成的骨骼鏈，其中Bone1位於原點O，Bone2為Bone1的子
骨骼，且每個骨骼均具有角度θ與固定的長度參數d (如下圖一)。請問：給定一點
T(x,y)，θ1與θ2各要是多少，才能使Bone2的尾端恰好位於T點？


　　　　　　　　　　　　　　　http://ppt.cc/vOJZ
　　　　　　　　　　　　　　　     ▲ 圖一



二、可解範圍


　　不論是 d1 < d2 (如下圖二)或是 d1 > d2 (圖三)的情況，假如我們使θ1固定為0
(Bone1與x軸重疊)，則此骨骼系統所能夠碰觸到的點只有圖中綠圈線上的所有點而已。此
時旋轉Bone1，我們可以很清楚的看到，此二骨骼系統所能搆到的最遠距離就是d1 + d2，
而在離原點距離小於 | d1 - d2 | 的點會處於死角之中搆不到。


                              http://ppt.cc/E9EK
                                ▲ 圖二、圖三


　　換言之，T與原點的距離關係必須符合下列式子，否則此骨骼系統無法達到「使Bone2
的尾端恰好位於T點」的目標：
                                       ＿
                        | d1 - d2 | ≦ OT ≦ (d1 + d2)



三、解算


    一般用到IK控制的場合中，考慮到關節角度限制、以及為了方便推廣到多骨骼的場合
，一般會如圖四分解問題：


                              http://ppt.cc/UX_B
                                   ▲圖四


　　在這個架構下，求解θ1、θ2，其實就是在解下列的聯立方程：

                        x = d1 cos θ1 + d2 cos(θ1 + θ2)
                        y = d1 sin θ1 + d2 sin(θ1 + θ2)

　　此式雖可化簡，但過程繁瑣，在此不詳列。


　　在NP Lab: Coloring Problem中，由於關節沒有角度限制，且所有滑鼠座標均事先映
射到可解範圍之中，所以我就用了一個相對簡單的算法來作IK解算。



四、利用餘弦定理

                                                 ＿
　　我們把圖一重新畫上輔助線如下圖五，其中d3 = | OT | ，θ1 = (OT與x軸夾角 -
a2)，θ2 = (180 - a3)。


                              http://ppt.cc/LmOM
                                   ▲ 圖五


    在d1、d2、d3均為已知的情況，整個問題就變成了「已知三邊長，求角度」的形式。
只要利用餘弦定理即可解出：


                a1 = acos( (d2^2 + d3^2 - d1^2) / 2*d2*d3 )
                a2 = acos( (d1^2 + d3^2 - d2^2) / 2*d1*d3 )
                a3 = acos( (d1^2 + d2^2 - d3^2) / 2*d1*d2 )


　　要注意的是，這裡求出來的數值是角度而不是角向量，所以角度的加減要考慮進去。
例如底下圖六就是一個不同的狀況：θ1 = (OT與x軸夾角 + a2)


                              http://ppt.cc/RauW
                                   ▲ 圖六



五、小結


　　IK控制在2D遊戲中其實並不多見，主要用在「需要適應環境」的情境中，例如沙羅曼
蛇的觸手魔王就是一個很好的例子。3D環境中IK控制就用得多了，要讓雙腳踏在斜坡上不
會一腳踏空一腳插進地表時可以用來修正膝蓋、股關節的角度，跳躍、攀爬的誤差也可以
依同法修正，用途廣泛。不過......這就留給之後再來研究吧！ XD


　　感謝收看！



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「你知道嗎？」納許的囚徒這樣對著他的獄友說：「據說柏拉圖的囚徒，都在看電影」
「是阿是阿，」對方不耐煩地回答：「所以你下次到底要選合作還是背叛？」

                                                       ──《林人狂的小書櫃》
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※ 編輯: Alimen          來自: 219.85.211.70        (05/07 12:07)
推 cjcat2266:推! 正好不久之後打算研究IK :)
cjcat你那邊應該是直接進3D領域了吧～ 期待你之後的分享喔～ ^_^b

推 NDark:骨架動畫真的是很煩......寫過一次就不想再碰了.
習慣就好......(問題發言)

推 cowbaying:如果你覺得壓力很大  我可以以版主名義發個廢文
推 cowbaying:這樣你就不會覺得壓力大了 XD
→ cowbaying:網誌的上一篇也很不錯  一次附上兩篇文如何?
感謝板主厚愛XD 另外一篇我稍微整理成適合GameDesign的文章晚點再貼過來

推 KanoLoa:推受益
推 MINAMIYA:最近好文真多~
推 johnny94:Game design板就是需要這類文章多一點!
感謝推～

※ 編輯: Alimen          來自: 219.85.209.161       (05/07 19:55)
→ ycjcsie:我有研究過3D的IK 必須跑很多次回圈去趨近