作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [工數]-二階常係數微分方程
時間Mon Jul 27 17:36:33 2009
※ 引述《l1560ccdd (戰狗)》之銘言：
: 各位神大大好:
: 小弟有一題二階ode解不出來 ...
: EX:
: y''+5y'= x(e^-x)sin(3x)
: 主要是想問特解的部份要怎麼下手? 我做出來答案不太一樣
: 我的解法是先將指數往前移，然後D代(D-1)，之後再部份份式，
: 然後會拆兩項，再分別對xsin(3x)去做 。
: 這題的答案是:
: 67 13 9 246
: y= c1+c2e^-5x +{[____ - ___ x]sin(3x) -[___x + _____]cos(3x) }
: 325 250 250 12500
: 題目的來源是 <93 成大製造>
: 謝謝各位了
---
解法很多種
小弟用變數係數法作:
<1> solve yc: y'' + 5y' = 0
→ yc = c1 + c2*e^(-5x)
<2> find yp:
set yp = u(x) + v(x)*e^(-5x)
then we can get :
u' + v'*e^(-5x) = 0 ____(1)
-5v'e^(-5x) = xe^(-x)sin(3x) ____(2)
by (1) 、 (2) → u' = 1/5 xe^(-x)sin(3x)
v' = -1/5 xe^(4x)sin(3x)
→ u = 1/50 *e^(-x)* [(-x + 4/5)sin(3x) + (-3x - 3/5)cos(3x)]
v = -1/125 *e^(4x)* [(4x - 7/25)sin(3x) + (-3x + 24/25)cos(3x)]
(choose int. const. = 0)
thus
yp = 1/50 *e^(-x)* [(-x + 4/5)sin(3x) + (-3x - 3/5)cos(3x)]
-1/125 *e^(-x)* [(4x - 7/25)sin(3x) + (-3x + 24/25)cos(3x)]
= e^(-x)*[(-13x/250 + 57/3250)sin(3x) + (-9x/250 - 123/6250)cos(3x)]
from <1> <2>
y = yc + yp
-5x -x -13 57 -9 -123
= c1 + c2*e + e [( ___ x + ____ )sin(3x) + ( ___ x + ____ )cos(3x)]
250 3250 250 6250
原po給的答案似乎有錯 ～～
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.141.151
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.141.151 (07/27 17:37)
推 l1560ccdd:答案沒有錯阿!! 我給的答案跟你解的是一樣的 !! 謝謝 ! 07/27 18:59
→ doom8199:...... 07/27 19:13
→ xxvf:uv怎麼積 07/27 23:03
→ doom8199:先算出 ∫e^(ax)*sin(bx) dx 、 ∫e^(ax)*cos(bx) dx 07/27 23:53
→ doom8199:的積分，則 ∫xe^(ax)*sin(bx) dx 07/27 23:54
→ doom8199:= x∫e^(ax)*sin(bx) dx - ∫ ∫e^(ax)*sin(bx) dx dx 07/27 23:55
→ doom8199:不論是 4F 的哪個積分，都會有 e^(ax)*sin(bx) 07/27 23:56
→ doom8199:與 e^(ax)*cos(bx) 的項，所以連套兩次 4F的積分就出來了 07/27 23:57