Re: [理工] [工數]-高階oODE

[shinyhaung (我是Shiny)]

※ 引述《mdpming (★ｐｉｇｍｉｎｇ★)》之銘言：
: 1.
: y''' - y'' - y' + y = 0
: y'(0) = 1  ,  y(0) = 0
: 答案是
:       x    x
: y = 2e - xe

基本題 令 y = e^mx  y' = me^mx  y'' = m^2e^mx 代入原式可得

 m^3 - m^2 - m + 1 = 0  利用勘根定理可知 m = 1為一解

則可分解得 (m - 1)(m^2 - 1) = 0  故  m = 1, 1, -1

通解  y = c1e^x + c2xe^x + c3e^(-x)

將三個初始條件帶入 要一直微分XD

得 c1 = 2  c2 = -1  c3 = 0

故 y = 2e^x - xe^x


: 2.
:                                          -x       -x
: Find an ODE for which the function x,1, e cos3x, e sin3x  are solutions
: 答案
: D = 0,0, -1+3i , -1-3i , y''''+2y'''+10y''=0
: 我鋼開始寫高階ｏｄｅ
: ０　０　怎麼看阿~~
: 其他我都會看出來 只有 0 0還看不太出來~

一樣令 y = e^mx

故有 y = 1 的解  => m = 0

     y = x       => m = 0  因為重根多乘x

     y = e^(-x)cos3x, e^(-x)sin3x    =>  m = -1 ± 3i才會有此解

故原式  m^2[ (m+1)^2 + 9 ] = 0  此式是左右同消去e^mx

將y帶入展開可得原式  y''''+2y'''+10y'' = 0



: 3.
:  y=sinx 為 y''''+ 2y''' + 11y'' + 2y' + 10y = 0 之一解~ 求通解
: 答案是
:                          -x          -x
: y = c1cosx + c2sinx + c3e cos3x + c4e sin3x
: 懇請鄉民了!!

一樣令 y = e^mx代入解m

左右消去e^mx可得 m^4 + 2m^3 + 11m^2 + 2m + 10 = 0  ......(1)

已知有一解 y=sinx 即可得令一解 y=cosx

表示 (m^2 + 1) = 0 .....(2)

將 (1) 除以 (2) 可得 (m^2 + 1)(m^2 + 2m + 10) = 0

故 (m^2 + 2m + 10) = [ (m+1)^2 + 9 ] = 0

可解得 m = -1 ± 3i

故通解 y = c1cosx + c2sinx + c3e^(-x)cos3x + c4e^(-x)sin3x

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◆ From: 125.229.82.231
※ 編輯: shinyhaung      來自: 125.229.82.231       (08/15 00:08)
推 mdpming:感謝你~~老師都沒教我們 這樣另也...
→ mdpming:原來還有這招!!
推 mdpming:可是我剛剛對一次 題目沒打錯也XD
→ mdpming:請問 y=e^mx 有條件限制嗎~
→ shinyhaung:因y'+ ky = 0(k為常數) 的通解可利用分離變數法求得為
→ shinyhaung:y = ce^(-kx) 因此高階常係數線性O.D.E.的齊性解
→ shinyhaung:其形式應亦為e^mx或其線性組合
推 ashyan:第三題 知道通解sinx cosx 是令(m^2+1) 嗎?
→ shinyhaung:漏氣了 解錯XDD  感謝樓上
※ 編輯: shinyhaung      來自: 125.229.82.231       (08/15 01:02)
推 mdpming:第一題 我卡在刊跟定理 所以分解不出來 @@ 那要怎麼看阿
推 mdpming:第三題 1 除 2 怎麼除的阿 除不出來.....@@
推 mds420:不就是多項式的長除法嗎??